Свойства стационарных процессов авторегрессии и скользящего среднего
1. Процессы авторегрессии. Конечный процесс авторегрессии выражается через прошлые значения xt в виде
, (1) или и может быть представлен как бесконечный процесс скользящего среднего . (2) (Авто)Ковариационная функция процесса получается умножением (1) на
. Переходим к операции математического ожидания и с учетом получим . (3) Разделим (3) на g0 (дисперсию), получим аналогичное разностное уравнение для (авто)корреляционной функции . Процесс авторегрессии первого порядка (4) может быть представлен в виде бесконечного процесса СС (2): . (5) Для модели (5) условием стационарности является сходимость ряда весов , т.е. параметр а1 стационарного процесса АР(1) должен удовлетворять условию |а1|<1. В модели (5) оператор эквивалентен передаточной функции дискретной системы, генерирующий процесс АР(1). Характеристическое уравнение системы имеет вид: . (6) Следовательно, стационарность процесса АР(1) обеспечивается при условии, что корень (6) лежит вне единичного круга. Рассмотрим процесс авторегрессии второго порядка . Характеристическое уравнение системы имеет вид: . Для стационарности нужно, чтобы корни были вне единичного круга. Условия: а1 + а2 < 1, а2 - а1 < 1, -1 < а2 < 1, |а i|<1. Для приближенной оценки порядка равторегрессии используют частную автокорреляционную функцию по следующей схеме. Пусть а ll - последний коэффициент, неравный нулю; а bj - промежуточный коэффициент. Зависимость значений а ll ,рассматриваемых как функция l , называется частотной автокорреляционной функцией. Значение а kk частотной автокорреляционной функции можно найти, решая систему уравнений
. Задаваясь значениями , можно построить частотную автокорреляционную функцию процесса. 2. Процессы скользящего среднего Процесс СС порядка k имеет вид: . Автокорреляционная функция СП СС(k) находится следующим образом: . Так как et - независимая случайная величина с дисперсией , то , а его автоковариационная функция имеет вид
. Корреляционная функция СП СС
.
обрывается на сдвиге l, т.е. при l > k . Автоковариационная функция находится следующим образом. Для получения условия обратимости СП СС (т.е. сходимости) представим процесс в обращенном виде т.е. . Для сходимости необходимо выполнение условия -1 < с1 < 1, что эквивалентно тому, что корень характеристического уравнения 1- с1q =0 лежит вне единичного круга. Условия обратимости СП СС второго порядка Получается решением характеристического уравнения. Корни должны быть вне единичного круга, поэтому появляются условия с2 + с1< 1 с2 - с1 < 1, -1 < с2 < 1. 3. Процессы авторегрессии - скользящего среднего СП АРСС (р, k)имеет вид: или . (1) Умножим (1) на и переходим к Е(·), получим . Для больших сдвигов l ≥ k+1 все слагаемые gxl (·) º 0 и ковариационная функция смешанного процесса совпадает с ковариационной функцией СПАР , l ≥ k+1 . l ≥ k+1 Первые две автокорреляции через параметры а i , с i
.
Таблица моделей
Лекция 2 В условиях неполной информации о природе стохастических явлений и процессов задача построения адекватной и экономичной модели должна решаться итеративным путем, т.е. чередование этапов выдвижения гипотезы о типе модели на основе теоретического исследования оценивания модели по экспериментальным данным, проверки ее согласия, имеющимися данными и повторение этого цикла в случае необходимости. Структура этапов:
Например, если в реализации СП просматривается нестационарная составляющая, то подходящей моделью является АРПСС (p, d, k). Задача определения АРПСС т.е. параметров p, d, k , решается в два этапа: а) получение конечной разности от xt такого порядка, какой нужен, чтобы обеспечить стационарность исследуемого СП. Выбор подходящей степени разности решается построением корреляционной функции для СП , причем обычно достаточно d = 1, 2. Из сравнения автокорреляционных функций для стационарного и нестационарного СП видно, что нестационарность проявляется в медленном затухании выборочной автокорреляционной функции. Для стационарного процесса автокорреляционная функция быстро затухает при средних и больших задержках l . Начальные оценки параметров модели находят, используя автокорреляционную функцию процесса . Пусть первый вариант пробной модели представлен как ПСС (0, 1, 1): . Таким образом, для СП можно использовать модель СС (1). Здесь нужно оценить один параметр с1 по выборочному значению автокорреляции r1 для ряда первых разностей Ñ х t . Из выражения для r1 для СП СС получаем
Þ (*) ,
Пример. На основе теоретических значений автокорреляционных функций через параметры моделей имеем (выборочные значения) . Подстановка в (*) дает с1 » 0.48, . Подходит только первое с1 » 0.48, так как -1 < с1 < 1. Вторым пробным вариантом модели можно взять АРСС (1, 1) . Параметры можно найти по двум первым ковариациям (корреляциям) . Пусть выборочные корреляции известны и равны ; значения параметров а1 = 0,83, с1 = 0.48. Это дает пробную модель (1, 1)
. Модель АРСС (1, 1) содержит еще один неизвестный параметр – уровень процесса µ и его можно описать в виде:
, где с0 = µ(1- а1). Для стационарного процесса оценкой µ является среднее значение х t : . Для примера Тогда с0=2,90.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (318)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |