Доказательство (ДОК 2).
Необходимость. Пусть интеграл зависит только от начальной и конечной точки, и не зависит от пути, соединяющего точки А,В. Возьмём какой-нибудь замкнутый контур, разобьём его какими-нибудь случайно взятыми точками. Докажем, что циркуляция равна 0.
Достаточность. Пусть для любого замкнутого контура
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Поле F потенциально Доказательство (ДОК 3). Необходимость. Если поле потенциально то а тогда в интеграле Достаточность. Если криволинейный интеграл для поля (P,Q,R) не зависит от пути, возьмём начальную точку, например начало координат (0,0,0). Введём некоторую скалярную функцию U(x,y,z) равную работе поля от (0,0,0) до точки А(x,y,z). То есть А теперь мы докажем, что именно эта функция является потенциалом. Составим путь из дуги от 0 до А и дополнительного маленького горизонтального отрезка вдоль оси Ох. Интеграл от 0 до А равен U(А). Интеграл от 0 до А1 равен U(А1). Координаты точек: А (x,y,z) и А1 (x+∆x,y,z) . Тогда
Тогда Но точка с тоже стремится к х при ∆x →0. То есть Аналогично, рассматривая точку А1 с координатами А1 (x,y+∆y,z) получили бы
Следствие. Поле F потенциально
Доказанный критерий позволяет вычислить потенциал, если известно, что поле потенциально, однако практически ничем не поможет выяснить изначально вопрос о том, потенциально ли поле. Ведь кривых, соединяющих две точки А,В бесконечно много, и невозможно вычислить интегралы по всем этим кривым. Поэтому для проверки потенциальности необходим другой критерий. ЛЕКЦИЯ 2. 09.09.2019 Теорема 4. 1) Если поле 2) Если граница области D, в которой задано векторное поле, является односвязным множеством, и симметрична производная матрица
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (207)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |