Приближенное решение дифференциального уравнения методом Эйлера и Рунге – Кутта.
Содержание 1.Лабораторная работа №1. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Эйлера и Рунге – Кутта: 1.1 Теоретический материал……………………………………3 1.2 Решение уравнение методом Эйлера в MathCAD ………5 1.3 Решение уравнение методом Рунге-Кутта……………….7 Лабораторная работа №2 Приближенное вычисление определенных интегралов. 2.1 Теоретический материал………………………………………..9 2.2 Вычисление площади, ограниченную кривыми……………12 2.3 Вычисление координаты центра тяжести пластины плотности γ =1, ограниченной линиями………………………….13 Лабораторная работа №3 Разложение функций в степенной ряд. Ряд Фурье. Гармонический анализ. 3.1 Теоретический материал…………………………………………………………16 3.2 Разложение указанной функции в степенной ряд, вблизи точки x = 0………………………………………………………………………………………………………21 3.3 гармонический анализ указанной функции на отрезке [0;2 π ]…………………………………………………………………...23 Лабораторная работа № 1 Приближенное решение дифференциального уравнения методом Эйлера и Рунге – Кутта.
Метод Эйлера — простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление». Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности. Он основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.. Значение: Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит своё применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем. Пусть необходимо найти решение уравнения (1) с начальным условием . Такая задача называется задачей Коши. Разложим искомую функцию в ряд вблизи точки и ограничимся первыми двумя членами разложения . Учтя уравнение (1) и обозначив , получаем Эту формулу можно применять многократно, находя значения функции во все новых и новых точках. (2) Такой метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений называется методом Эйлера.
Ме́тоды Ру́нге — Ку́тта — большой класс численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Первые методы данного класса были предложены около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой. К классу методов Рунге — Кутты относятся явный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера с пересчётом, которые представляют собой соответственно методы первого и второго порядка точности. Существуют стандартные явные методы третьего порядка точности, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализован в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) классический метод Рунге — Кутты, имеющий четвёртый порядок точности. При выполнении расчётов с повышенной точностью всё чаще применяются методы пятого и шестого порядков точности. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, а методы восьмого порядка — не менее 11 стадий. Для методов девятого и более высоких порядков (не имеющих, впрочем, большой практической значимости) неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения соответствующего порядка точности[3]. Оценку значения производной можно улучшить, увеличивая число вспомогательных шагов. На практике наиболее распространенным методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений является метод Рунге-Кутты четвертого порядка. Для оценки значения производной в этом методе используется четыре вспомогательных шага. Формулы метода Рунге-Кутты следующие , , , , , . Перечисленные методы можно применять и для решения систем дифференциальных уравнений. Поскольку многие дифференциальные уравнения высших порядков могут быть сведены заменой переменных к системе дифференциальных уравнений первого порядка, рассмотренные методы могут быть использованы и для решения дифференциальных уравнений порядка выше первого.
Задание. 1. Изучить теоретические сведения о численном решении дифференциальных уравнений. 2. Изучить способы решения дифференциальных уравнений в MathCAD.
1.Решим уравнение методом Эйлера в MathCAD.
1) Правая часть уравнения равна: 2) Зададим границы изменения x:
3) Зададим число точек и величину шага: 4) Зададим начальные условия:
5) Вычислим x и y по формулам Эйлера: Представим результат графически и сравним его с аналитическим решением. Аналитическое решение: Точное аналитическое решение и решение, полученное численно, отличаются в точке x=2 на То есть относительная ошибка составляет:
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (276)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |