Матрицы и действия над матрицами
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:[1] . Числа составляющие данную матрицу, называются ее элементами: номер строки матрицы; номер столбца. Если , то матрица называется квадратной порядка . Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие на главной диагонали, равны единице ( ) а остальные элементы – нулю, называются единичной:
Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, вектором-столбцом. Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, т.е. тогда и только тогда, когда Суммой двух матриц называется матрица , элементы которой равны сумме соответствующих элементов и матриц и .
Произведение матрицы на число называется матрица , элементы которой равны
Матрица называется противоположной матрице . Если матрицы одинаковых размеров, то их разность равна . Произведением матрицы порядка на матрицу порядка называется матрица порядка , элементы которой равны
Из данного выражения следует правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий на пересечении строки и столбца матрицы , необходимо все элементы строки матрицы умножить на соответствующие элементы столбца матрицы и полученные произведения сложить. Произведение двух матриц не коммутативно, т.е. в общем случае . Если , то матрицы и называются коммутативными. Так, единичная матрица коммутативна с любой квадратной матрицей того же порядка, причем .
Пример 1. Найти произведение матриц: . Решение: . Пример 2. Найти произведение матриц: . Решение: . Транспортированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Обозначение транспортированной матрицы: , . Любой квадратной матрице порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем, или детерминантом порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков. Пусть дана матрица
тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле: Пример 3. Вычислить определитель матрицы : . Решение:
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
Пример 4. Вычислить определитель матрицы : . Решение: . Вычисление определителей n -го порядка производится на основании свойств определителей и следующей теоремы: определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
Алгебраическое дополнение элемента равно где, – минор элемента , получаемый путем вычеркивания в определителе строки и столбца. Минором порядка матрицы называется определитель , составленный из элементов, расположенных на пересечении строк и столбцов матрицы. Минор , расположенный в первых строках и в первых столбцах, называется угловым или главным минором.
Пример 5. Вычислить два минора второго порядка матрицы : . Решение. Первый минор расположен на пересечении первой и третьей строк и второго и третьего столбцов:
второй минор является главным минором второго порядка. Он расположен на пересечении первых двух строк и первых двух столбцов: Квадратная матрица порядка n называется обратной к матрице , если она удовлетворяет соотношению: . Квадратная матрица порядка n называется невырожденной (неособенной), если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной (особенной). Для всякой невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица, равная где, присоединенная матрица, элемент которой есть алгебраическое дополнение элемента матрицы : Первый способ нахождения обратной матрицы рассмотрим на конкретном примере:
Пример 6. Вычислить обратную матрицу для матрицы : Решение. Определитель матрицы Определитель матрицы отличен от нуля, следовательно, для матрицы существует единственная обратная матрица. Вычислим присоединенную матрицу : т.е. Тогда Проверкой убеждаемся, что .
Второй способ нахождения обратной матрицы. Обратную матрицу можно вычислить на основании следующих элементарных преобразований (преобразований Жордана-Гаусса) над строками матрицы: · перемена местами двух строк; · умножение строки матрицы на любое число, отличное от нуля; · прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число, отличное от нуля. Для того чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы , необходимо составить матрицу , затем путем элементарных преобразований привести матрицу к виду единичной матрицы , тогда на месте единичной матрицы получим матрицу .
Пример 7. Вычислить обратную матрицу для матрицы : . Решение. Составим матрицу вида . Элемент и первую строку, содержащую данный элемент, назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный столбец с единицей в первой строке. Для этого ко второй и третьей строкам прибавим первую строку, соответственно умноженную на 1 и -2. В результате данных преобразований получим матрицу: . В матрице преобразуем в единичный второй столбец. В качестве направляющего элемента выберем элемент . Так как направляющий элемент , разделим вторую (направляющую) строку на . Затем к первой строке прибавим вторую, умноженную на . Получим матрицу . В матрице преобразуем в единичный третий столбец. В качестве направляющего элемента выбираем элемент . Делим направляющую (третью) строку на 4 и ко второй строке прибавляем третью, умноженную на . Получим матрицу: , откуда .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (241)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |