Непрерывные математические модели
Математическая модель системы может быть получена на основе математических моделей подсистем, образующих данную систему.
Математическая модель системы Рассмотрим в качестве примера непрерывную стационарную одномерную детерминированную систему с сосредоточенными параметрами
Всего три подсистемы: объект , регулятор и элемент сравнения . Объект — динамическая система, дифференциальные уравнения которой могут быть записаны следующим образом:
Х — любая линейная или нелинейная функция. Составим уравнение регулятора: Регулятор — также динамическая система, при этом с учётом направленности действия уравнение регулятора не будет содержать х:
Примечание. Направленность действия означает то, что объект не оказывает обратного влияния на регулятор, а только через элемент сравнения и главную обратную связь Составим уравнение элемента сравнения:
Система уравнений , , — это математическая модель рассматриваемой системы. В общем случае это система нелинейных дифференциальных уравнений.
Линеаризация математической модели Если нелинейности системы несущественны, то ими пренебрегают, и считают модель линейной с какой-то степенью приближения. Линейные модели используют обычно на этапе предварительного проектирования, они удобны для исследования. Применяя соответствующий метод линеаризации, можно перейти от линейной модели к линеаризованной. Рассмотрим один из этих методов: он опирается на гипотезу малости отклонений “Δ”-вариаций переменных х( t ), y ( t ), r ( t ), f ( t ), от их значений, от их заданных или фиксированных значений “0” х0( t ), y 0 ( t ), r 0 ( t ), f 0 ( t ), , например, в установившемся состоянии. Рассмотрим уравнение объекта : Полагая и , решения уравнения можно найти в виде , а уравнения в виде , тогда: Лекция №6. 26.02.2003
Если X непрерывная и однозначная функция, то её можно разложить в ряд Тейлора в окрестности некоторых точек х0 , r 0 , f 0 :
.
Пренебрегая членами ряда порядка выше первого (из-за их малости), с учётом частного случая (в установившемся состоянии после переходного режима при , ) после преобразований в операторной форме это уравнение ( ) можно записать в следующем виде:
Здесь , а DO, MO, NO —полиномы от оператора р такие, что:
; ; , где: ; ; .
Аналогично могут быть получены линеаризованные уравнения регулятора и устройства сравнения:
Исключая из системы уравнений , , переменные , и опуская индекс вариации Δ, линеаризованная математическая модель системы примет вид:
(II΄)
где:
; ; , где a 0 – an, b 0 – bn, c 0 – cn однозначно определяются коэффициентами α, β и γ системы. Тот же вид, но в развёрнутой форме: (II)
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (260)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |