Скалярная проекция гиперкомплексных чисел.
Будем искать оператор поворота в виде Будучи примененным к вектору A, этот поворот должен дать действительное число: Несложно видеть, что этому уравнению удовлетворяет решение Или, иначе говоря, сам вектор A и задает оператор поворота, на который следует его повернуть, чтобы получить действительное число. Применив этот оператор поворота к вектору B, получим: И для того, чтобы получить проекцию, следует взять действительную часть вектора B’ и провести соответствующую нормировку, поскольку указанным поворотом мы исказили величину модуля вектора B. К числу весьма важных свойств скалярного произведения относится: Поэтому, стремясь найти для гиперкомплексных чисел полную аналогию скалярному произведению, мы не будем использовать нормировок. В этом случае определенное выше правило выглядит как: И для случая A = B переходит в Перечислим еще раз свойства скалярного произведения в классическом варианте и найдем соответствия им в случае гиперкомплексных чисел: 1) , причем (x,x) только при x = 0 2) (x,y) = (y,x) 3) (x,ky) = k(x,y) где k - любое действительное число 4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z) Для первого свойства вышеприведенное правило построения проекции не подходит, поскольку Поскольку даже для тех алгебр, для которых может быть отрицательным числом, число всегда положительно, но исключение составляет условие (x,x) = 0 только при x = 0 Тут следует сделать оговорку, что в гиперкомплексных алгебрах случай идеалов вовсе не является исключением, поэтому для скалярной проекции гиперкомплексных чисел вполне возможно снять это условие и разрешить при Рассмотрим второе свойство скалярного произведения (x,y) = (y,x) В случае построения аналогии в нашем случае следует доказать, что Для этого докажем промежуточные равенства: a) b) Для доказательства равенства a) рассмотрим коэффициенты таблицы произведения мнимых единиц в алгебрах Кэли - Диксона: где через обозначены мнимые единицы гиперкомплексной алгебры, - коэффициенты произведений. Для всех гиперкомплексных алгебр Кэли - Диксона, определенных подобной таблицей произведений, выполняется при Таким образом, в произведении в действительной части будут присутствовать только четные степени при , а нечетных не будет. Обозначив через элемент алгебры, алгебраически сопряженный элементу X, а через - сопряжение путем смены знаков у всех коэффициентов при мнимых единицах, получим: Сопряжение еще можно назвать фазовым сопряжением, поскольку сопрягается фаза числа. Поскольку выражение для определено в виде полиномиального ряда, то в будут входить только четные функции от мнимых компонентов фазы числа X. Поскольку функции четные, например ch или cos, то действительная часть при алгебраическом сопряжении не меняется: Для доказательства промежуточного равенства b) рассмотрим также таблицу произведений мнимых единиц алгебр Кэли - Диксона: Поскольку раскрыв произведение ab мы получим гиперкомплексное число, рассмотрим образование его действительной части. В нее входят: - произведение действительных частей a и b. - произведение одинаковых мнимых компонентов a и b. Поскольку для алгебр Кэли - Диксона нельзя получить действительного числа из произведений при а две вышеприведенные составляющие не зависят от порядка сомножителей a и b, то, следовательно, Для доказательства соответствия предложенной формы скалярной проекции второму свойству скалярного произведения просто преобразуем выражение: Таким образом, если скалярному произведению (x,y) сопоставлять , то правило коммутативности скалярного произведения выполняется. Соответствие предлагаемой формы скалярной проекции третьему свойству скалярного произведения проверяется непосредственно: если k - действительное число, то , поэтому Для проверки соответствия четвертому свойству используем второе и проверим: (x,y + z) = (y + z,x) = (y,x) + (z,x) Распишем скалярную проекцию: Поскольку для алгебр Кэли - Диксона сложение определено покомпонентно, то для любых двух чисел a и b: Таким образом, введенная нами форма скалярной проекции соответствует четвертому свойству скалярного произведения:
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (183)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |