Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций: 1) 2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией. 3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция. Если f ( x ) – четная периодическая функция с периодом
Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:
Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:
Пример 2. Построить эскиз графика, разложить в ряд Фурье функцию y = x, Решение. Эта функция непрерывна на отрезке
Подставляя коэффициенты в ряд Фурье, получаем разложение На концах отрезка Построим график S3(x) 12. Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье, в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции. Допустим, что функция f ( x ) задана на отрезке
f(x)
a - 2T a a b a+2T a + 4T x
Таким образом, функция f ( x ) была доопределена. Полученная функция Если функция f ( x ) задана на отрезке, равном 2l, то ее разложение ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции с периодом 2l. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2l, то ее можно продолжить на отрезок [a ; a +2l ], так, чтобы условия разложимости в ряд Фурье сохранялись. Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2l может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но все они будут совпадать с заданной функцией f ( x ) на отрезке Пример 4 . Разложить в ряд Фурье функцию Решение. Будем считать функцию периодической с периодом Тогда, ряд Фурье для этой функции будет иметь следующий вид:
Таким образом
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (246)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |