Локальная приближенная формула
Муавра-Лапласа: , где , Обычно этой формулой пользуются в случае, если (n достаточно велико, р по-прежнему отлично от 0 и 1). Найденное значение тем точнее n. Замечание 1. Функцию можно находить по специальным таблицам (см. Приложение 1), где помещены значения функции для неотрицательных х. Значения функции для отрицательных х легко найти, обратив внимание на то, что является четной функцией: . Интегральная приближенная формула Муавра-Лапласа: , где , Таким образом, интегральная приближенная формула Муавра-Лапласа позволяет находить вероятность того, что в n испытаниях число наступлений некоторого события находится между k1 и k2 при условии, что n велико; . Замечание 2. Функцию также можно находить по специальным таблицам (см. Приложение 2), где помещены значения функции для неотрицательных х. Значения функции для отрицательных х легко найти, обратив внимание на то, что является нечетной функцией: . При можно принять . Приближенная формула Пуассона: , где Формулой Пуассона пользуются при анализе массовых (n велико), редких событий, если можно допустить, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний остается неизменным. Пример 1. Стрелок делает 4 независимых выстрела по мишени, в каждом из которых вероятность попадания равна 0,8. Найти вероятности следующих событий: В – стрелок попал в мишень один раз, С – стрелок попал в мишень два раза. Решение. Введем события А i – стрелок попал в мишень при i-том выстреле, где . По условию , следовательно, Выразим через события В и С через А i :
; . Видим, что события В и С, состоят из ряда сложных несовместных событий, каждое из которых представляет собой произведение независимых элементарных событий и . Найдем вероятности событий В и С: . . Замечание 3. При вычислении вероятности события В получены одинаковые слагаемые: в каждом из них присутствует 0,8. Это показывает, что в одном из четырех испытаний произошли события А i, вероятности которых постоянны и равны 0,8. Присутствие (0,2)3 показывает, что в оставшихся трех испытаниях произошли события . Всего таких слагаемых 4, что равно числу способов, которыми можно из четырех испытаний выбрать одно, в котором произойдет событие А i, то есть равно числу сочетаний из четырех по одному ( ). Аналогично при вычислении вероятности события С получили одинаковые слагаемые: в каждом из них присутствует (0,8)2 (это показывает, что в двух из четырех испытаний произошли событие Аi), и (0,2)2, (это показывает, что в оставшихся двух испытаниях произошли события ). Всего таких слагаемых 6, что равно числу способов, которыми можно из четырех испытаний выбрать два, в которых произойдет событие А i, то есть равно числу сочетаний из четырех по два ( ). С учетом Замечания вероятности событий В и С могут быть найдены гораздо быстрее, если применить формулы Бернулли: ;
Пример 2. Вероятность некоторого события в каждом испытании постоянна и равна 0,75. Найти вероятность того, что это событие в 192 испытаниях наступит 1) 150 раз, 2) 135 раз, 3) не менее 135 и не более 150 раз. Решение: По условию , . Величина . Воспользуемся приближенными формулами Муавра-Лапласа. 1) Найдем х и по таблице для : . Тогда . 2) Найдем х и по таблице для :
. Тогда . 1) По таблице находим: , . .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (255)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |