ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Задача 198. Доказать, что . Решение. По определению, = = = = = . Ответ. .
Задача 199. С помощью определения доказать, что . Решение. = = = воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени : = = = = = . Ответ. . Задача 200. Вычислить производную от композиций: А) . Б) Решение. А) = = . Б) = = . Ответы. ; .
Задача 201. Найти производную от . Решение. Здесь композиция трёх функций. Сначала действует степенная и переводит в , затем вычисляется косинус, а от этого выражения зависит логарифм. = = = , что можно записать в виде . Ответ. . Задача 202. Найти производную функции . Решение. Способ 1. Можно рассматривать как композицию, тогда: = = = = . Способ 2. Можно рассматривать сразу как степенную функцию с дробной степенью, тогда решение такое: = . Как мы видим, двумя способами получаем одно и то же. Ответ. . Задача 203. Найти 1 и 2 производную от . Решение. = = = , что можно записать в виде . Вторая производная: = = . Ответ. .
Задача 204. Найти производную от . Решение. Здесь нельзя применять формулу степенной функции, ведь в показателе тоже есть переменная. Но нельзя и формулу показательной функции, т.к. в основании тоже есть переменная. Единственным выходом здесь является логарифмирование, чтобы соатлось только в степени. Основание может быть представлено в виде . Тогда = = . = = = а теперь можем заменить обратно на . После приведения подобных, получим . Ответ. .
Задача 205. Найти производную вектор-функции . Решение. Производные двух координатных функций ищем независимо друг от друга. = . Ответ. .
Задача 206. Найти 1-ю и 2-ю производную для . Найти . Решение. = = = = = = = = = = . Итак, . Следующая, 2-я производная: = = = = . Вычислим «тестовое» значение при конкретном . = = = = 2. Ответ. , , =2.
Задача домашняя. Найти 1-ю и 2-ю производную для . Решение. = = = = . 2-я производная: = = = = , сократим на : = = = = = . Ответ. Задача 207. Найти производную от . Решение. Здесь произведение, причём в одном из множителей есть композиция. = = = = . Ответ. . Задача 208. Найти 2-ю производную для . Решение. 1-я производная: = = = . 2-я производная: = = = = = = = = . Ответ. .
Задача 209. Вывести формулу . Решение. Объединим первые 2 слагаемых в один условный множитель, а третье пусть будет вторым множителем. После этого применим известную формулу, доказанную для 2 множителей. = , что и приводит к выражению .
Задача 210. Найти 1-ю и 2-ю производную и . Решение. = . = = = = = . . Ответ. , , . Задача 211. Дана функция . Найти , . Решение. = = = = = = = . Максимально возможно привели подобные, чтобы затем было легче считать 2-ю производную. = = = = = . Вычислим . = = = 48. Ответ. . .
Задача 212. найти , . Решение. , = = . = = = = . = . = . Ответ. , . Задача 213.1. Нарисовать график , если функция задана графически:
Решение. Здесь мы можем рассуждать следующим образом. Запишем функцию на каждом из участков: Тогда можно найти производную на каждом участке отдельно: Тогда график производной выглядит так:
Задача 213.2. Нарисовать график , если функция задана графически: Здесь видно, что угловой коэффициент равен 0,5 при , на остальной части вещественной оси функция есть константа. Тогда график производной выглядит так (показано зелёным цветом).
Мы видим, что в тех точках, где на исходном графике угол, производная имеет разрыв 1-го рода.
Возможны и другие варианты таких задач. Задача 213.3. Задача 213.4. Если .
Задача 213.5.
«Частные производные, градиент». Задача 214. Дана функция . Найти координаты вектора в точке . Решение. Найдём две частных производных. = , = . Градиент в произвольной точке: . Кстати, для получившегося векторного поля функция называется потенциалом. Градиент в точке : . Ответ. . Задача 215. Дана функция . Найти в точке . Решение. = , = , = . Градиент в произвольной точке: . Градиент в точке : . Ответ. . Задача 216. Найти градиент функции в точке (1,1,1). Решение. Найдём частные производные. , , . Присвоим все значения x,y,z=1. Получаем . Ответ. . Задача 217. (На применение формулы полной производной). Дано: . Точка движется по прямой: . Вычислить : 1) без формулы полной производной. 2) с помощью формулы полной производной. Решение. 1 способ. Сведём к функции от и вычислим для неё обычную производную. = = = , = = . 2 способ. По формуле полной производной: = = = а теперь уже в этом выражении выразим через : = = = . Ответ. . Алгоритм вычисления производной по направлению можно условно разделить на 4 шага: 1) Найти градиент в произвольной точке, 2) Найти градиент в конкретной точке, 3) Нормировать вектор, задающий направление, 4) Скалярно умножить градиент в точке на этот нормированный вектор. Замечание. Шаги 3 и 4 перестановочны, то есть можно не нормировать вектор, а разделить на его длину получившееся скалярное произведение .
Задача 218. Дана функция . Найти: а) координаты вектора в точке , б) в точке в направлении вектора . Решение. Найдём все 3 частных производных. = . = . = . 1) Градиент в произвольной точке: . 2) Градиент в точке : . 3) Нормируем вектор . Его длина . Нормированный вектор . 4) Скалярно умножим его на градиент в точке, т.е. . = = = . Ответ. = , = 4. Задача 219. Дана функция . Найти: а) координаты вектора в точке ; б) в точке в направлении вектора . Решение. Ищем частные производные. = , = . Итак, градиент . При получаем вектор . Нормируем вектор . Его длина . Новый вектор . Скалярно умножаем его на : . Ответ. , = 0. Задача 220. Найти градиент функции в точке (1,1) и производную по направлению (1,3). Решение. , . Градиент в произвольной точке: Градиент в конкретной точке: Нормируем вектор (1,3). . Скалярно умножим и . . Ответ. , = . Задача 221. Дана функция . Найти: а) координаты вектора в точке б) в точке в направлении вектора . Решение. Частные производные: = = . Аналогично = , = . Присвоим конкретные значения и получим градиент в точке. Учитывая, что ,получится: . Нормируем вектор . Его длина . Итак, надо рассматривать такой вектор: . Теперь скалярно умножим его на градиент. = = . Ответ. , = . Задача 222. Найти градиент функции в точке и производную по направлению . Решение. 1) Вычисляем частные производные: . 2) . 3) Скалярно умножаем на , получим 4. 4) Разделим на , получим . Ответ. , . * Задача домашняя. Найти градиент функции в точке (2,2) и производную по направлению a = (3,4). Решение. , . Градиент в произвольной точке: . Градиент в точке (2,2) равен . Нормируя вектор (3,4) получаем . Скалярно умножаем и . = = 81,6. Ответ. Градиент , = 81,6. Задача 223. Найти градиент функции в точке (1,2,3) и производную по направлению a = (1,0,1). Решение. 1. . 2. 3. Нормируем вектор a = (1,0,1). Его модуль . Тогда нормированный вектор: . 4. Скалярно умножим на . Получим = = . Ответ. . «Уравнение касательной». Вспомнить уравнение: . Задача 224. Найти касательную к графику в точке . Решение. , , . Уравнение , то есть . Ответ. .
Задача 225. Найти уравнение касательной к кривой в точке . Решение. Значение в точке: . Производная: . Производная в точке: . Уравнение принимает вид , что преобразуется к виду . Ответ. . Задача 226. Найти касательную к графику в точке . Решение. , , .
. Ответ. Уравнение касательной . Задача 227. Найти касательную к графику в точке с абсциссой 2 и расстояние от этой прямой до начала координат. Решение. , , . Подставим эту информацию в уравнение . Получается . Надо применить формулу расстояния от точки до прямой в плоскости: для этого сначала преобразуем к неявному виду: . Тогда видно, что . . = = . Ответ. Касательная , расстояние .
Задача 228. Найти касательную к графику функции в точке . Решение. . . . . Ответ. Уравнение касательной . Задача 229. Найти уравнение касательной к графику в точке и площадь треугольника, который она отсекает от одной из координатных четвертей. Решение. , , . . Выясним, треугольник и в какой четверти она отсекает. Для этого найдём точки пересечения с координатными осями. , . Точки и . Треугольник в 4-й четверти. Схематично покажем, где и как он расположен: Его площадь это 0,5 от площади достроенного прямоугольника, а она была бы равна . Поэтому ответ . Ответ. Касательная , площадь треугольника . Задача 230. На графике функции взята точка . Касательная к графику в точке наклонена к оси 2019-11-21 |
168 |
Обсуждений (0) |
|
5.00
из
|
|
Обсуждение в статье: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы