ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ СИЛОВОЕ ПОЛЕ И СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
Теорема об изменении кинетической энергии применяется, если работу сил можно подсчитать, не зная закона движения тела. Установим, какие силы обладают этим свойством. Работа силы на перемещении точки М из положения М1 в положение М2: (1) Сила F может зависеть от координат и времени, скорости и т.д. Вычислить интеграл, не зная закон движения, можно, если сила постоянна, или зависит только от координат. Такие силы образуют силовое поле. В общем случае нужно перейти к одной переменной путем замены, например, . (2)
Формула (2) – это уравнение траектории точки М. Следовательно, в общем случае работа в силовом поле будет зависеть от траектории. Работу можно вычислить, не зная траектории, в том случае если элементарная работа является полным дифференциалом некоторой функции . Или: ; (3) Тогда по формуле (1) (3.1) Функция U называется силовой функцией. При наличии силовой функции силовое поле называется потенциальным силовым полем, силы, действующие в этом поле, – потенциальные силы. Работа потенциальной силы равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и от вида траектории точки не зависит. Силовую функцию можно определить из уравнения (4) Постоянную интегрирования С определяют с помощью «нулевой точки», в которой . К потенциальным силам относятся силы тяжести, упругости и тяготения. Определим силовые функции. Поле силы тяжести. Пусть ось z направлена вверх. Известно, что при этом элементарная работа равна . Примем, что нулевая точка находится в начале координат, т.е. U=0 при z = 0. По формуле (4) находим: При z = 0 величина С = 0, так как U=0, поэтому U = – Pz (5)
Поле силы упругости. Сила упругости равна сх. Тогда элементарная работа силы упругости dA = –cxdx. Примем, что при х = 0 U = 0. Тогда (6) По силовой функции можно определить силу в любой точке поля. Из формулы (3) имеем (7) Приравнивая коэффициенты при dx, dy, dz, получим (9) В потенциальном поле проекции силы на координатные оси равны частным производным от силовой функции по соответствующим координатам. Из формул (9) можно получить (10) Из (10) следует (11) Уравнения (11) выражают необходимые и достаточные условия того, что силовое поле является потенциальным.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Понятие потенциальная энергия относится к потенциальному полю. Характеризует «запас работы» материальной точки в данном пункте поля по отношению к нулевой точке, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю. П.Э. – скалярная величина, равная работе силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое Принимается, что нулевые точки П.Э. и силовой функции совпадают. Обе зависят от координат. Из формулы (3.1) следует . Поэтому (12) Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном положениях Учитывая, что П = - U, потенциальную энергию полей силы тяжести и силы упругости можно вычислить по формулам (5, 6), поменяв знак на плюс.
Закон сохранения механической энергии. Выразим работу потенциальных сил, действующих на систему, через разность потенциальной энергии в начальном и конечном положении Эта работа равна изменению кинетической энергии Отсюда получаем (13) При движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергий системы величина постоянная. Система, для которой выполняется закон (13) называется консервативной системой. При наличии силы сопротивления в правую часть уравнения (13) нужно ввести работу сил сопротивления со знаком минус. Следовательно, происходит убывание (диссипация) механической энергии. Такая система называется диссипативной, а силы, вызывающие диссипацию энергии диссипативными силами.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (312)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |