Общая теоретическая часть
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (г. КАЗАНЬ) Кафедра высшей математики
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Конечно-разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Выполнил: студент группы № _____ дневного (заочного) отделения факультета менеджмента и маркетинга специальность: управление качеством _______________________________ номер зачетной книжки __________ контактный телефон: ____________
Руководитель: доц. Лебедев В.Н.
Казань – 2010 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Ведение ……………………………………………………………………………….3 1. Общая теоретическая часть………………………………………………………..4 1.1. Действия с приближёнными величинами……………………………………....4 1.2. Основные численные методы……………………………………………………7 1.2.1. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений…………………...7 1.2.2. Интерполяция функций………………………………………………………..10 1.2.3. Метод наименьших квадратов и его применения……………………………11 1.2.4. Численное интегрирование……………………………………………………14 2. Конечно-разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений……………………………………………………...16 3. Расчетная часть…………………………………………………………………….18 3.1. Поиск действительных корней уравнения……………………………………..18 3.2. Приближеннее вычисление интеграла………………………………………….20 3.3. Построение интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона………...21 3.4. Оценки параметров линейной и квадратичной моделей……………………...22 Результаты и выводы…………………………………………………………………24 Список использованной литературы………………………………………………...24
ВВЕДЕНИЕ
Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию науки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ. Первая крупная проблема – овладение ядерной энергией – требует решения комплекса сложных задач физики и механики (управление работой реактора, использование энергии деления ядер урана, защита от проникающего излучения, охлаждение стенок реактора, изучение тепловых полей и упругих напряжений в стенках, решение многих других задач). Все эти задачи необходимо решать до начала работы реактора, используя для них математическое описание (модель) и проводя численные расчеты на ЭВМ. Вторая крупная проблема – освоение космоса – связана с созданием летательных аппаратов и решением для них многих задач аэродинамики и баллистики (например, расчет движения ракеты и управление ее полетом). Здесь также имеется комплекс сложных задач механики, физики и техники, которые могут быть решены только с использованием численных методов. Ещё одну проблема, стоящая перед человечеством – поиск новых источников энергии. Один из основных проектов получения энергии – использование реакции управляемого термоядерного синтеза ядер дейтерия и трития. Запасы термоядерного горючего на Земле практически неисчерпаемы, а продукты реакции не загрязняют среду. Однако термоядерная реакция начинается только при экстремальных условиях – при высокой температуре (порядка десятков и сотен миллионов градусов) и огромном сжатии (в тысячи раз) дейтерия и трития; кроме того, требуется удержать горючее вещество в этом состоянии в течение времени, достаточного для развития реакции горения (синтеза). Создание таких условий – пока еще нерешенная научно-техническая проблема. Существует несколько проектов нагрева, сжатия и удержания термоядерного горючего (плазмы). При их реализации возникает много вопросов, которые надо решать до начала проектирования даже экспериментальных установок. Необходимо прежде всего изучить поведение плазмы при высоких температурах и плотностях, в магнитных полях и выяснить условия, при которых возможна сама реакция термоядерного синтеза. Такие исследования проводятся па основе математического описания (математической модели) физических процессов и последующего решения соответствующих математических задач на ЭВМ при помощи вычислительных алгоритмов. В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание – вычислительный эксперимент, т. е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. На первом этапе проводится выбор математической модели, т. е. приближенное описание процесса в форме алгебраических, дифференциальных или интегральных уравнений. Эти уравнения обычно выражают законы сохранения основных физических величин (энергии, количества движения, массы и др.). Полученную математическую модель необходимо исследовать методами теории дифференциальных уравнений. Надо установить, правильно ли поставлена задача, хватает ли исходных данных, не противоречат ли они друг другу, существует ли решение поставленной задачи и единственно ли оно. На этом этапе используются методы классической математики. Следует отметить, что многие физические задачи приводят к таким математическим моделям, разработка теории которых находится в начальной стадии. На практике приходится решать задачи математической физики, для которых не имеется теорем существования и единственности. Второй этап вычислительного эксперимента состоит в построении приближенного численного метода решения задачи, т. е. в выборе вычислительного алгоритма. Под вычислительным алгоритмом понимают последовательность арифметических и логических операций, при помощи которых находится решение математической задачи, сформулированной на первом этапе. Па третьем этапе осуществляется программирование вычислительного алгоритма для ЭВМ и на четвертом этапе – проведение расчетов па ЭВМ. Деятельность по программированию должна быть тесно связана с разработкой конкретных численных алгоритмов. Наконец, в качестве пятого этапа вычислительного эксперимента можно выделить анализ полученных численных результатов и последующее уточнение математической модели. Может оказаться, что модель слишком груба – результат вычислений не согласуется с физическим экспериментом, или что модель слишком сложна, и решение с достаточной точностью можно получить при более простых моделях. Тогда следует начинать работу с первого этапа, т. е. уточнить математическую модель, и снова пройти все этапы. Следует отметить, что вычислительный эксперимент – это, как правило, не разовый счет по стандартным формулам, а прежде всего расчет серии вариантов для различных математических моделей. Т.о. численные методы решение задач в последнее десятилетие благодаря совершенствованию ЭВМ получают всё большее применение в различных отраслях науки и техники. Общая теоретическая часть
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (230)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |