Вероятностные характеристики дискретных случайных величин
Для расчёта дискретной случайной величины необходимо иметь: 1) все возможные значения, которые она может принимать, 2) вероятность появления каждого из них. Одной из простых характеристик определяющую случайную величину является среднее значение или математическое ожидание случайной величины. . (1.6) Основные свойства математического ожидания случайной величины следующие: 1. Для любых случайных величин среднее значение их суммы равно сумме средних значений этих величин: ; (1.7) 2. Среднее значение произведения случайных величин, независимых друг от друга, равно произведению средних значений этих величин: . (1.8) Последняя формула не распространяется на общий случай любых случайных величин. В виде обобщения среднего значения введено понятие момента порядка m случайной величины x. (1.9) Момент первого порядка есть среднее значение (математическое ожидание) случайной величины. Момент второго порядка – это средний квадрат случайной величины. . (1.10) Часто используют так называемое среднеквадратичное значение случайной величины, представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата случайной величины: . (1.11) Иногда рассматриваются центрированное значение случайной величины , где – среднее значение. Тогда можно ввести понятие центрального момента m-го порядка. . (1.12) Из формулы следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю. Обратимся теперь к характеристикам рассеяния дискретной случайной величины. Если x – случайная величина, а – среднее значение этой величины, то величина есть отклонение случайной величины от ее среднего значения. Это отклонение является случайной величиной, как и сама величина x. Средним отклонением D называется среднее значение (математическое ожидание) абсолютной величины отклонения, т.е. . (1.13) Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной величины от её среднего значения. Она совпадает с центральным моментом второго порядка . (1.14) Дисперсия может быть только положительным числом: . Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением случайной величины: . (1.15) Укажем простейшие свойства среднеквадратичных отклонений. 1. При сложении независимых случайных величин (1.16) дисперсии складываются: . (1.17) Поэтому среднеквадратичное отклонение суммы независимых случайных величин . (1.18) Эта формула часто применяется в вычислительной технике и автоматики для вычисления среднего квадрата ошибки. 2. Пусть имеется n случайных величин
с одинаковыми средними значениями и с одинаковыми законами распределения. Тогда их среднеарифметическое (1.19) тоже будет случайной величиной с тем же самым средним значением , но среднеквадратичное отклонение его будет в раз меньше, чем для каждой из составляющих (в случае независимых случайных величин): (1.20) Например, если производится n измерений одной и той же физической величины, то их среднее арифметическое, хотя является случайной величиной, но всегда надежнее (имеет меньшее среднеквадратичное отклонение), чем каждое измерение в отдельности. Здесь случайные ошибки измерения в известной мере компенсируются. Но надо помнить, что систематические ошибки приборов при этом остаются в полной мере в составе среднего арифметического и никакой массовостью измерений скомпенсированы быть не могут. 3. Для n случайных величин, независимых, имеющих одно и то же среднеквадратичное значения , среднее арифметическое будет при достаточно большом как угодно мало отличатся от среднего значения (с вероятностью, как угодно близкой к единице). Замечание в скобках означает, что это практически достоверно, но не абсолютно, потому что среднее арифметическое есть все же случайная величина. Таким образом, при большом n и указанных условиях при . (1.21)
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (211)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |