Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда
Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле
Докажем следующую теорему Теорема. Пусть K - конечное абелево расширение поля k; тогда
где произведение справа распространяется на все примитивные характеры, согласованные с характерами группы классов где S - исключительное множество в k, - группа всех идеалов поля k, взаимно простых с S, - подгруппа конечного индекса, образованная теми элементами из , которые содержат нормы относительно k идеалов из K, взаимно простых с S, - подгруппа в подгруппе главных идеалов в , состоящая из таких главных идеалов , для которых и Доказательство проводится в терминах локальных множителей, причем мы рассмотрим по отдельности неразветвленный и разветвленный случаи. 1. Пусть p - неразветвленный простой идеал из k, т.е.
где - различные простые идеалы в K. Согласно теории полей классов,
где
Поэтому соответствующий локальный множитель слева равен
в то время как соответствующий локальный множитель справа равен
Ввиду того, что f - наименьшее положительное число такое, что для всех , имеет место следующее легко проверяемое тождество
отсюда, если положить , следует нужное равенство. 2. Доказательство для разветвленных простых идеалов сложнее и использует функциональные уравнения, которым удовлетворяют различные L-функции. Начнем с равенства
и докажем, что функция тождественно равна единице. равна произведению конечного числа выражений вида
соответствующих разветвленным идеалам p. теорема дзета функция дедекинд Если это произведение непостоянно, оно имеет полюс или нуль в некоторой чисто мнимой точке , где . В силу функционального уравнения представляет собой отношение гамма-функций и, следовательно, имеет только вещественные нули и полюсы. Поэтому , также является полюсом или нулем функции g. Мы знаем, однако, что не является нулем или полюсом ни для L-рядов, ни для функций . Следовательно, g постоянна, а именно равна 1.
Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда
Пусть k=Q, K=Q ( ), где - первообразный корень из 1 степени m, . Тогда
(1)
где - дзета-функция Римана, - L-функция Дирихле, произведение справа распространяется на все неглавные рациональные характеры по модулю m. Выведем функциональное уравнение Воспользуемся функциональным уравнением для :
,
где сумма Гаусса. Воспользуемся (1), получим
, ,
используя свойство сумм Гаусса, получим
, .
Пусть для любого вещественного характера , тогда
, .
Известно, что для каждого комплексного характера существует сопряжённый, тогда получим
, , , .
Используя функциональное уравнение для дзета-функции Римана:
получим
где D - дискриминант поля K. Таким образом мы получили функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда в случае, когда k=Q, K=Q ( ). Заключение
В данной работе мы доказали теорему о представлении дзета-функции Дедекинда в виде произведения L-функций и с помощью этой теоремы вывели функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда в случае k=Q, K=Q ( ), где - первообразный корень из 1 степени m. Список используемой литературы
1. Касселс Дж., Фрёлих А. Алгебраическая теория чисел. - М., "Мир", 1969, с.328 - 330
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (176)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |