Линейные конечно-разностные уравнения и их применение в экономике
12
Динамика объектов различной природы часто описывается уравнениями вида xt = F(xt-1, xt-2, ... , xt-n),(7)
связывающими состояние объекта xt в любой момент времени t с состояниями в предшествующие моменты времени. Решение уравнения (7) n-го порядка определено однозначно, если заданы n так называемых начальных условий. Обычно в качестве начальных условий рассматриваются значения xt при t = 0, 1,..., n - 1. Подставляя начальные значения xn-1, ... , x1, x0 и t = n в качестве аргументов функции в правой части (7), находим xn; используя найденное значение и подставляя теперь xn, xn-1, ... , x2 x1 и t = n + 1 в качестве аргументов функции, находим xn+1, и т.д. Процесс может быть продолжен до тех пор, пока не будут исчерпаны все представляющие интерес значения t. В модели экономических циклов Самуэльсона-Хикса используются конечно-разностные уравнения вида xt = a1xt-1 + a2xt-2 + f(t) - линейные конечно-разностные уравнения второго порядка, являющиеся частным видом уравнения (7). Они называются однородными, еслиf(t) = 0 при любых t, неоднородными - в противном случае. И для нахождения, и для исследования свойств решения однородного уравнения xt = a1xt-1 + a2xt-2 ,(8)
используется так называемое характеристическое уравнение
- a1 - a2 ,(9)
Обозначим его корни 1, 2 и запишем
В теории конечно-разностных уравнений[4] доказывается, что при 1 2 решение уравнения (8) описывается равенством
, (10)
где A1 и A2 - постоянные, определяемые начальными условиями. Если же 1 = 2 = , то решение имеет вид
, (11)
Решение уравнения (8) зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения (9). Рассмотрим возникающие при этом случаи.1. D > 0. Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня. Решение описывается равенством (10); если оба корня положительны, то обе компоненты решения - монотонные геометрические прогрессии. Если имеются отрицательные корни, то каждому из них отвечает знакочередующаяся составляющая решения (10).2. D = 0. Характеристическое уравнение имеет совпадающие вещественные корни, и решение имеет вид (11). 3. D < 0. Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплексных корней: 1,2 = i . Равенство (10) при этом справедливо, но неудобно для использования, так как вещественный процесс при этом описывается как сумма комплексных составляющих. Более удобную форму решения можно получить, используя тригонометрическое представление корней: 1,2 = g(cos sin ), где Такое представление позволяет описать решение уравнения (8) равенством , (12)
где B1 и B2 - постоянные, определяемые начальными условиями. Таким образом, при D < 0 решение носит характер колебаний, амплитуда которых возрастает (при g > 1) или убывает (при g < 1); Решение уравнения (8) называют равновесным, если значение xt не изменяется во времени. Подстановкой в уравнение (8) можно убедиться, что xt = 0 есть равновесное решение. Равновесное решение называется устойчивым, если xt 0 при t ; в противном случае оно называется неустойчивым. Равенства (10) и (11) показывают, что решение будет устойчивым в том и только в том случае, если оба корня характеристического уравнения по модулю меньше единицы. В случае D < 0 условию устойчивости соответствует g < 1, так как при этом необходимым и достаточным условием устойчивости является a2 > -1. По теореме Виета 1 2 = -a2, так что условие a2 > -1 необходимо и в случае D > 0, но здесь оно не является достаточным. Система неравенств
дает необходимое и достаточное условие устойчивости для данного случая. Для этого требуется, чтобы выполнялось неравенство Систему можно заменить одним неравенством
Объединяя все полученные результаты, условие устойчивости можно представить в виде двойного неравенства ,(13)
Уравнение модели экономических циклов Самуэльсона-Хикса имеет вид уравнения (8), при этом Заметим, что Cy 0 и 0 в силу экономического содержания этих параметров. Согласно теореме Виета,
,(14)
Условие D = 0, разделяющее колебательные и неколебательные решения, теперь имеет вид
При характеристическое уравнение имеет вещественные корни. Из неотрицательности параметров Cy и и равенств (14) следует, что оба корня неотрицательны и обе компоненты решения (10) изменяются монотонно. При решение носит колебательный характер. Условие устойчивости (13) теперь принимает вид
т.е. представляет собой систему неравенств
На рис. 4. устойчивому движению соответствуют области I (монотонное движение) и II (колебательное движение). Неустойчивому движению соответствуют области III (колебательное движение) и IV (монотонное). Области V соответствуют синусоидальные колебания с постоянной амплитудой.
[5] Рис. 4. Стилизованные фазы экономического цикла
Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений, они используются в тех случаях, когда запаздывание оказывает существенное влияние на рассматриваемые процессы. В социально – экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием, записывают в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным временем. Наиболее широкое распространение разностные уравнения в экономической теории Применение разностных уравнений в экономике представлено в моделях: 1. Модель рынка с запаздыванием сбыта. 2. Рыночная модель с запасами. 3. Динамическая модель Леонтьева. 4. Модель экономического цикла Самуэльсона – Хикса. ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА-ХИКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
2.1 Модель Самуэльсона-Хикса
Модель Самуэльсона-Хикса включает в себя только рынок благ, и поэтому уровень цен и ставка процента предполагаются неизменными; объем предложения благ совершенно эластичен. Объем потребления домашних хозяйств в текущем периоде зависит от величины их дохода в предшествующем периоде Ct = Ca,t + Cyyt-1,
где Ca - автономное потребление.
Предприниматели осуществляют автономные инвестиции, объем которых при заданной ставке процента фиксирован, и индуцированные инвестиции, зависящие от прироста совокупного спроса в предшествующем периоде It = Ia,t + (yt-1 - yt-2).
На рынке благ установится динамическое равновесие, если
,(15)
где At = С a,t + Ia,t. Уравнение (15) является неоднородным конечно-разностным уравнением второго порядка, характеризующим динамику национального дохода во времени. Уравнение (9.1) является неоднородным конечно-разностным уравнением второго порядка, характеризующим динамику национального дохода во времени. При фиксированной величине автономных расходов (At = A = const) в экономике достигается динамическое равновесие, когда объем национального дохода стабилизируется на определенном уровне , т.е.yt = yt-1 = yt-2 = ... = yt-n = , где n - число периодов с неизменной величиной автономных расходов. Из уравнения (15) следует, что = A/(1 - Cy). Посмотрим, какова будет динамика национального дохода, если в состоянии динамического равновесия изменится величина автономного спроса. Освободимся от неоднородности в уравнении (15). Значения yt и удовлетворяют равенству (15), поэтому можно записать следующее однородное конечно-разностное уравнение второй степени с постоянными коэффициентами:
, (16)
где yt yt - .
Так как yt = + yt, то направление изменения yt определяется направлением изменения yt. Из теории решения дифференциальных и конечно-разностных уравнений следует, что характер изменения yt зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения. Поскольку в данном случае дискриминант равен (Cy + )2 - 4 , то динамика национального дохода зависит от предельной склонности к потреблению, определяющей величины мультипликатора и акселератора. Если (Cy + )2 - 4 > 0, то изменение yt происходит монотонно; при (Cy + )2 - 4 < 0 оно будет колебательным. Следовательно, график функции , изображенный на рис. 5, отделяет множество сочетаний Cy, , обеспечивающих монотонное изменение yt, от множества комбинаций из значений Cy, , приводящих к колебаниям yt. Устремляется ли значение yt к некоторой конечной величине или уходит в бесконечность, зависит от значения последнего слагаемого характеристического уравнения. Если < 1, то равновесие установится на определенном уровне. При > 1 нарушенное 1 раз равновесие больше не восстановится. Когда = 1 , тогда значение yt будет колебаться с постоянной амплитудой.
[6] Рис. 5. Четыре областисочетаний Cy,
В результате все множество сочетаний Cy и оказалось разделенным на пять областей, как это показано на рис. 5. Если значения Cy и указывают на область I, то после нарушения равновесия в результате изменения автономного спроса значение yt монотонно устремится к новому равновесному уровню При значениях Cy и , находящихся в области II, национальный доход достигнет нового равновесного уровня, пройдя через затухающие колебания. Сочетания значений Cy и , расположенные справа от перпендикуляра, опущенного из точки B на ось абсцисс, соответствуют нестабильному равновесию. Когда сочетания значений Cy, указывают на область III, тогда динамика yt приобретает характер взрывных колебаний. Комбинации значений Cy, в области IV приводят к тому, что после нарушения равновесия yt монотонно устремляется в бесконечность. И наконец, если акселератор равен единице, то при любом значении предельной склонности к потреблению в случае нарушения равновесия возникают равномерные незатухающие колебания yt.
2.2 Практическое применение модели Самуэльсона-Хикса Пример Заданы функция потребления домашних хозяйств: Ct = 50 + 0,8yt-1 и функция спроса предпринимателей на автономные и индуцированные инвестиции: It = 250 + (yt-1 - yt-2). В течение некоторого времени до периода t0 включительно экономика находится в динамическом равновесии при спросе предпринимателей на автономные инвестиции в объеме 250 ден. ед. Это значит, что в каждом периоде производилось 1500 ед. благ, из которых 50 + 0,8·1500 = 1250 потребляют домашние хозяйства. С периода t1 предприниматели решили, что объем автономных инвестиций должен равняться 350 ден. ед. Как в результате реализации этого решения будет меняться величина совокупного спроса (следовательно, и национального дохода) при четырех различных сочетаниях Cy, , представленных на рис. 9.4 точками a (Cy = 0,8; = 0,25), b (Cy = 0,8; = 0,75), c (Cy = 0,8; = 1,2) и d (Cy = 0,8; = 2,3), показано в табл. 9.1-9.4. Рис. 6. Динамика национального дохода после изменения автономного спроса при различных сочетаниях Cy, Таблица 2.1Динамика национального дохода при Cy = 0,8; = 0,25
Таблица 2.2Динамика национального дохода при Cy = 0,8; = 0,75
Таблица 2.3Динамика национального дохода при Cy = 0,8; = 1,2
Таблица 2.4Динамика национального дохода при Cy = 0,8; = 2,3
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренная модель Самуэльсона-Хикса дает возможность сделать выводы о причинах и факторах возникновения эндогенных (самогенерирующихся) циклических колебаний в экономической системе. Несмотря на абстрактный характер допущений, принимаемых в моделях колебательных процессов, нельзя не отметить строгость и прозрачность выводов, получаемых на основе анализа. В теоретических исследованиях экономической динамики, которые могут быть отнесены к традиционным направлениям экономической науки, наибольшее внимание уделяется инвестиционному поведению. Последнее представляется в виде определенной зависимости между размерами инвестиций и характеристиками состояния экономической системы - прибылью, доходом, занятостью, ставкой процента и т.д. Однако реальные колебательные процессы с большой условностью можно считать циклическими, имея в виду лишь последовательное чередование стадий цикла, а не строгую периодичность этих стадий. Чтобы дать более реалистическое описание таких процессов, необходимо создать модели, позволяющие выявить иррегулярную, хаотическую динамику экономических переменных. В последнее время появились работы, в которых делаются попытки построения плотность детерминированных динамических моделей с хаотическим поведением траекторий. Последовательные теоретические построения в данной области должны включать прежде всего объяснение внутренних экономических механизмов развития, выявление движущих сил, поведенческих мотивов и средств реализации изменений в экономических системах. СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Учебники и учебные пособия 1. Красс М.С. Математика для экономических специальностей./Учебник. М.:ИНФРА-М, 1998. 2. Гальперин В.М. Макроэкономика. СПб.: Экономическая школа, 1997. 3. Станковская И.К., И.А. Стрелец. Экономическая теория: учебник –3-е изд., испр. – М.:Эксмо, 2007. –448 с. 4. Боярский А.Я. Математика для экономистов. М.: Госстатиздат, 1961. 5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришнин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов./ Учебное пособие для вузов./ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. 439 с. 6. Крушевский А.В. Справочник по экономико-математическим моделям и методам. Киев: Техника, 1982. Источники из Интернета 1. http://www.spbki.ru/rus/parts/microeconomics 2. job.finec.ru/rus/parts/macroeconomics/chap9/9_1/9_1.html [1] Гальперин В.М. Макроэкономика. СПб.: Экономическая школа, 1997. [2] Гальперин В.М. Макроэкономика. СПб.: Экономическая школа, 1997. [3] Красс М.С. Математика для экономических специальностей./Учебник. М.:ИНФРА-М, 1998. [4] http://www.spbki.ru/rus/parts/macroeconomics/chap9/gl9.html [5] job.finec.ru/rus/parts/macroeconomics/chap9/9_1/9_1.html [6] http://www.spbki.ru/rus/parts/macroeconomics/chap9/9_2/9_2_1.html
12
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (290)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |