Возможные обобщения теоремы
Познакомимся с некоторыми способами обобщения, которые будем иллюстрировать утверждениями и задачами. 1. Обобщение по размерности. Известно следующее утверждение: Если , то для любой точки существуют такие числа и , что и . Пользуясь обобщением по размерности, приходим к утверждению: Если лежит в плоскости , то для любой точки найдутся такие числа , , , что
и .
2. Обобщение путем отбрасывания условий. Данный способ особенно эффективен при решении задач. В частности, он используется тогда, когда не удается решить какую-либо задачу. С этой целью мы отбрасываем какое-либо условие или заменяем его на более слабое, а потом решаем новую задачу: Доказать, что при выполняется неравенство .
Здесь может быть отброшено условие . Тогда, введя функцию при и используя производную, легко устанавливаем, что при . 3. Обобщение на основе рассмотрения частных случаев. Этот метод особенно эффективен в том случае, если желательно угадать ответ. Рассмотрим известный пример: Найти , если .
Обращаемся к частным случаям: Это позволяет обобщить утверждение, высказав гипотезу, что , а потом ее и доказать. 4. Обобщение на основе метода доказательства. В ходе поиска решения задачи или доказательства теоремы мы нашли нужный метод. Анализируя метод, выясним, что он может быть использован в более общей ситуации. Это позволяет сформулировать и доказать обобщение утверждения. Известна задача: Если в параллелограмме соединить середины смежных сторон, то полученный четырехугольник – параллелограмм. Анализируя метод доказательства, можно получить известное обобщение. 5. Обобщение путем изменения. Анализируя объекты, которые входят в известное утверждение, заменяем их на другие и пытаемся сформулировать и доказать обобщения. Обратимся к теореме Виета. В условии речь идет о трехчлене . Что можно менять? Это зависит от человека, который пытается обобщать, а точнее, какие объекты он увидит. Дело это творческое, и не существует единого рецепта. Обратимся к записи, где выделена часть объектов, которые могут быть изменены:
Без труда можно сформулировать возможные обобщения. 6. Обобщение как усиление. Этот метод поясняем на примере доказательства неравенства .
Введем функцию . Легко убедиться, что при она возрастает и график является выпуклым вниз (рис. 1).
рис. 1
Рассмотрим криволинейную трапецию . Очевидно, что ее площадь может быть вычислена по формуле
.
Площадь криволинейного треугольника находится по формуле
, или . Отсюда ясно, что в условии предлагается доказать, что . Так как площадь квадрата равна , то достаточно убедиться, что площадь криволинейного треугольника меньше . Укажем координаты “нужных” точек:
.
Теперь рассмотрим точку . Пользуясь выпуклостью вниз графика функции , легко убедиться, что площадь криволинейного треугольника меньше площади треугольника . Докажем неравенство (это больше, чем нам нужно):
.
Отсюда и получаем требуемое неравенство. 7. Обобщение на основе соединения. При данном способе обобщения новые утверждения получаются путем рассмотрения свойств объектов из разных тем (отметим, что этот метод отражен в названии наук – биофизика, биохимия, математическая биология и др.). Известны следующие утверждения:
1. а) Если и - корни трехчлена , то . б) Если и - любые числа, а , , то и - корни уравнения . 2. Пусть - точка касания вписанной в прямоугольный треугольник окружности с гипотенузой и , (рис. 2). Доказать, что площадь треугольника равна .
рис. 2
Соединяя эти утверждения, можем сформулировать следующие задания: Если и - отрезки, на которые точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, разбивает гипотенузу, то: а) ; б) ; в) , где - гипотенуза, а - площадь треугольника.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (220)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |