Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1 Факторизуемые группы с
-перестановочными подгруппами
2 Факторизуемые группы с
-перестановочными силовскими подгруппами
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами
обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств
и знак строгого включения
;
и
--- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
--- пустое множество;
--- множество всех
для которых выполняется условие
;
--- множество всех натуральных чисел;
--- множество всех простых чисел;
--- некоторое множество простых чисел, т.е.
;
--- дополнение к
во множестве всех простых чисел; в частности,
;
примарное число --- любое число вида
;
Пусть
--- группа. Тогда:
--- порядок группы
;
--- порядок элемента
группы
;
--- единичный элемент и единичная подгруппа группы
;
--- множество всех простых делителей порядка группы
;
--- множество всех различных простых делителей натурального числа
;
--группа --- группа
, для которой
;
--группа --- группа
, для которой
;
--- подгруппа Фраттини группы
, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы
;
--- подгруппа Фиттинга группы
, т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы
;
--- наибольшая нормальная
-нильпотентная подгруппа группы
;
--- коммутант группы
, т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы
;
---
-ый коммутант группы
;
--- наибольшая нормальная
-подгруппа группы
;
---
--холловская подгруппа группы
;
--- силовская
--подгруппа группы
;
--- дополнение к силовской
--подгруппе в группе
, т.е.
--холловская подгруппа группы
;
--- группа всех автоморфизмов группы
;
---
является подгруппой группы
;
---
является собственной подгруппой группы
;
---
является максимальной подгруппой группы
;
нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;
---
является нормальной подгруппой группы
;
--- подгруппа
характеристична в группе
, т.е.
для любого автоморфизма
;
--- индекс подгруппы
в группе
;
;
--- централизатор подгруппы
в группе
;
--- нормализатор подгруппы
в группе
;
--- центр группы
;
--- циклическая группа порядка
;
--- ядро подгруппы
в группе
, т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с
в
.
Если
и
--- подгруппы группы
, то:
--- прямое произведение подгрупп
и
;
--- полупрямое произведение нормальной подгруппы
и подгруппы
;
---
и
изоморфны.
Группа
называется:
примарной, если
;
бипримарной, если
.
Скобки
применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
--- подгруппа, порожденная всеми
, для которых выполняется
.
, где
.
Группу
называют:
-замкнутой, если силовская
-подгруппа группы
нормальна в
;
-нильпотентной, если
-холловская подгруппа группы
нормальна в
;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо
-группы, либо
-группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо
-группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа
группы
такая, что
нильпотентна.
разрешимой, если существует номер
такой, что
;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе
группы
называется такая подгруппа
из
, что
.
Минимальная нормальная подгруппа группы
--- неединичная нормальная подгруппа группы
, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы
.
Цоколь группы
--- произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы
.
--- цоколь группы
.
Экспонента группы
--- это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп
называется:
субнормальным, если
для любого
;
нормальным, если
для любого
;
главным, если
является минимальной нормальной подгруппой в
для всех
.
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
--- класс всех групп;
--- класс всех абелевых групп;
--- класс всех нильпотентных групп;
--- класс всех разрешимых групп;
--- класс всех
--групп;
--- класс всех сверхразрешимых групп;
--- класс всех абелевых групп экспоненты, делящей
.
Формации --- это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть
--- некоторый класс групп и
--- группа, тогда:
---
--корадикал группы
, т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп
из
, для которых
. Если
--- формация, то
является наименьшей нормальной подгруппой группы
, факторгруппа по которой принадлежит
. Если
--- формация всех сверхразрешимых групп, то
называется сверхразрешимым корадикалом группы
.
Формация
называется насыщенной, если всегда из
следует, что и
.
Класс групп
называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что
следует, что и каждая подгруппа группы
также принадлежит
.
Произведение формаций
и
состоит из всех групп
, для которых
.
Введение
Понятие
-перестановочной подгруппы оказалось полезным инструментом в вопросах классификации непростых конечных групп. Отметим, в частности, что классическая теорема Холла о разрешимых группах на языке
-перестановочных подгрупп может быть сформулирована так: Группа
разрешима тогда и только тогда, когда любые ее две силовские подгруппы
-перестановочны. Согласно теореме 3.8 из группа
является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы
-перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах
-перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах . Целью данной главы является нахождение новых признаков сверхразрешимости группы на основе условий
-перестановочности некоторых ее подгрупп.
1. Факторизуемые группы с
-перестановочными подгруппами
В данном разделе, развивая основные наблюдения работы, мы дадим новые критерии сверхразрешимости групп.
Пусть
--- группа и
--- ее подгруппа Фиттинга. Тогда
является сверхразрешимой в том и только том случае, когда
, где
и
--- такие сверхразрешимые подгруппы группы
, что каждая подгруппа группы
-перестановочна с каждой подгруппой группы
.
Доказательство. Необходимость. Пусть
--- сверхразрешимая группа. Пусть
--- минимальная нормальная подгруппа группы
. Тогда
для некоторого простого числа
. Пусть
--- такая максимальная подгруппа группы
, что
. Тогда
,
и
сверхразрешимы и каждая подгруппа группы
перестановочна с каждой подгруппой группы
.
Достаточность. Предположим, что
--- произведение сверхразрешимых подгрупп
и
,
--- подгруппа Фиттинга группы
и каждая подгруппа группы
-перестановочна с каждой подгруппой группы
, но
не является сверхразрешимой группой. Допустим, что
--- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Если
--- максимальная подгруппа группы
такая, что
и либо
, либо
, то
сверхразрешима.
Предположим, что
. Тогда по тождеству Дедекинда имеем
.
Так как
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267039066073.files/image383.png)
то каждая подгруппа группы
-перестановочна с каждой подгруппой группы
. Поскольку
, то по выбору группы
мы заключаем, что
сверхразрешима.
(2) Для любой неединичной нормальной в
подгруппы
факторгруппа
сверхразрешима.
Ясно, что
. Пусть
и
. Так как по условию для некоторого
,
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267039066073.files/image409.png)
то мы имеем
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267039066073.files/image411.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267039066073.files/image413.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267039066073.files/image415.png)
где
. Это показывает, что каждая подгруппа группы
-перестановочна с каждой подгруппой группы
. Но поскольку
--- произведение сверхразрешимых подгрупп
и
, то по выбору группы
мы заключаем, что
сверхразрешима.
(3) Группа
имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.
Допустим, что
. Тогда ввиду (2),
--- сверхразрешимая группа и поэтому
разрешима. Следовательно,
имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.
Предположим теперь, что
. Пусть
--- минимальная нормальная подгруппа группы
. Тогда по условию
. Предположим, что
. Ввиду леммы мы видим, что
. Но
сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы
, содержащаяся в
, абелева. Пусть теперь
. Предположим, что
и пусть
--- такая максимальная подгруппа группы
, что
. Согласно (1),
сверхразрешима, но
, и поэтому ввиду леммы ,
. Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы
, которая содержится в
, абелева. Пусть теперь
. Так как
, то каждая подгруппа группы
перестановочна с каждой погруппой группы
. Пусть
--- минимальная нормальная подгруппа группы
. Тогда
. Предположим, что
. Ввиду леммы мы видим, что
. Но
сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы
, содержащаяся в
, абелева. Пусть теперь
. Предположим, что
и пусть
--- такая максимальная подгруппа группы
, что
. Согласно (1),
сверхразрешима, но
, и поэтому ввиду леммы ,
. Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы
, которая содержится в
, абелева. Следовательно,
. Поскольку
и
абелевы группы, то группа
имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу.
(4) Группа
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
и
, где
и
--- такая максимальная в
подгруппа, что
и
.
Пусть
--- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы
. Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то
--- единственная минимальная нормальная подгруппа в
, причем
. Пусть
--- максимальная подгруппа в
такая, что
и пусть
. Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем
. Так как ввиду (3),
абелева, то
и
. Это показывает, что
. Следовательно,
--- сверхразрешимая группа и ввиду леммы
. Согласно (2) и выбора группы
, мы имеем ![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267039066073.files/image556.png)
(5)
--- наибольший простой делитель порядка группы
.
Предположим, что
не является наибольшим простым делителем порядка группы
, и пусть
--- наибольший простой делитель
. Пусть
и
--- такие максимальные подгруппы группы
, что
,
. Тогда
. По лемме,
и
не сопряжены в
. Так как ввиду леммы все максимальные подгруппы группы
, которые не содержат
, сопряжены в
, то либо
содержит
, либо
содержит
. Пусть, например,
и пусть
--- силовская
-подгруппа группы
. Предположим, что
. Согласно (2),
сверхразрешима и поскольку
максимальная подгруппа группы
, то по лемме
--- простое число. Значит,
содержит неединичную силовскую
-подгруппу
. Согласно лемме ,
, и поэтому
. Это противоречие показывает, что
. Ясно, что
. Тогда
. Предположим, что
и пусть
--- максимальная подгруппа группы
, содержащая
. Ввиду (1),
сверхразрешима. Без ограничения общности, мы можем предположить, что
. Так как группа
сверхразрешима, то
, и поэтому
, что невозможно в силу (4). Значит,
. Следовательно, по тождеству Дедекинда мы имеем
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267039066073.files/image636.png)
и поэтому
. Пусть
, где
. Предположим, что
. Тогда
, и очевидно
. Это влечет
. Следовательно,
. Ясно, что
, и поэтому
. Пусть
--- максимальная подгруппа группы
. Тогда для некоторого
, мы имеем
. Так как
не является сверхразрешимой группой, то ввиду (4) мы видим, что
. Но поскольку
, то приходим к противоречию. Следовательно,
. Пусть
--- силовская
-подгруппа группы
и для некоторого
,
. Предположим, что
. Пусть
--- максимальная подгруппа группы
, содержащая
. Согласно (1),
сверхразрешима. Это влечет
, противоречие. Следовательно,
2019-12-29 |
168 |
Обсуждений (0) |
Перечень условных обозначений
0.00 из
5.00
0
оценок
|
|