Типичные ошибки учащихся при исследовании функций
При проведении исследования функций учащиеся часто допускают ошибки. Большое число ошибок допускается при построении графиков функции с использованием производной. а) Пусть требуется исследовать с помощью производной функцию и построить ее график. Результаты исследования функции оформим в виде таблицы (таб. 1). Таблица 1
Покажем ошибочные эскизы графиков, которые учащиеся изображают по данной таблице (рис. 3,4,5,6)
На каждом из этих рисунков допущены грубые математические ошибки и происходят они из-за того, что учащиеся используют из таблицы лишь сведения о том, где функция возрастает и где убывает, и совершенно не берут во внимание существование производной функции в критических точках. В таблице 1 отмечено, что в точках, производная функции существует, а это означает, что в точках с этими абсциссами можно провести касательную. Тот факт, что производная функции в этих точках равна нулю, означает, что в точках с этими абсциссами касательные к кривой должны быть параллельны оси Ox. Анализ рисунков 3,4,5,6 показывает, что указанное выше требование нарушено, а именно, на рисунке 3 нельзя провести касательную к кривой с абсциссой ; на рисунках 4 и 5 – в точках с абсциссами ; на рисунке 6 – в точках с абсциссами . Правильный график функции показан на рисунке 7.
б) При исследовании функции на монотонность учащиеся очень часто не учитывают точек, в которых функция неопределенна. Приведем пример такой ошибки. Исследовать функцию на монотонность. Часто учащиеся поступают так: ; находят точки, в которых производная равна нулю: ; затем, множество всех действительных чисел разбивают точкой на два промежутка находят знаки производной на каждом промежутке и делают затем ошибочный вывод о монотонности функции на каждом из этих двух промежутков. Поступать же надо было так. Множество всех действительных чисел следовало бы разбить на промежутки точками, в которых функция не определена и точками в которых производная равна либо нулю, либо равна бесконечности, либо не существует. В данном случае мы получим три промежутка: . Знак производной функции на каждом из них отмечен на рисунке 8.
Ответ должен быть записан в следующем виде: на промежутке функция возрастает; на промежутке функция убывает; на промежутке функция возрастает. По поводу записи ответа отметим следующее: если функция непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то его можно присоединить к этому промежутку. Так, в нашем случае, в точке функция непрерывна, а значит промежутки могли бы быть записаны так: . в) Ряд ошибок связан с решением текстовых задач на экстремум. Проанализируем эти ошибки. Очень часто учащиеся в процессе решения задач на экстремум при исследовании полученной функции на наибольшее (наименьшее) значение делают такой вывод: «Функция на промежутке имеет один максимум, тогда максимальное значение и будет наибольшим». Такое утверждение содержит ошибки, разберем суть этих ошибок. На рисунке 9 показан график такой функции, которая на промежутке имеет одну точку максимума, но максимальное значение не является
наибольшим; наибольшее значение функция достигает в точке .
Но и последнее утверждение содержит ошибку. На рисунке 9 показан график функции, которая на отрезке имеет одну точку экстремума, которая является точкой максимума, но максимальное значение не является на этом промежутке наибольшим; наибольшее значение достигается при .
Обобщая проведенные рассуждения, вывод, сделанный учащимися, должен быть таким: «Непрерывная функция имеет на промежутке одну точку экстремума, которая является точкой максимума, тогда это максимальное значение и будет наибольшим на указанном промежутке». Приведенных в работе примеров типичных ошибок, допускаемых учащимися при изучении Алгебры и начал анализа, вполне достаточно, чтобы показать учителю насколько важно учить учеников, а им самим учиться, рефлексивно- оценочной деятельности, которая позволит устранить и предупредить подобного рода ошибки [5]. План-конспект урока по теме «Производная и ее применение» Цель урока: обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по теме «Производная и ее применение». Тип урока: обобщения и систематизация знаний Структура урока: 1. Постановка цели урока. 2. Актуализация опорных знаний и умений. 3. Самостоятельная работа. 4. Подведение итогов работы на уроке. Оборудование урока: 1. Рисунки. 2. Кодоскоп. Кодопозитивы. Выбор методов обучения. Основные методы − эвристические и репродуктивные. Ход урока: 1. Постановка цели урока. Учитель сообщает учащимся цель урока. 2. Актуализация опорных знаний и умений. На данном этапе урока учащиеся сидят по группам, соответствующим ими выбранной тематике домашнего задания (количество учащихся в группе корректируется учителем по 5-6 человек). Столы стоят таким образом, чтобы учащиеся могли видеть доску. Четыре представителя от каждой группы излагают у доски одну из задач, подобранных из различных пособий, и отвечают на вопросы: 1. Геометрический смысл производной. 2. Физический смысл производной. 3. Роль знака производной для определения возрастания или убывания функции на некотором промежутке. 4. Дать определение (в широком смысле) касательной, проведенной к графику данной функции через точку . Записать уравнение касательной. Пока они готовятся, все учащиеся слушают историческую справку, делая соответствующие записи в тетрадях. Заслушав план решения каждой задачи, записанной на доске, учащиеся делают вывод о том, что наиболее емкое применение производная находит при решении различных задач и построении графиков функций. 3. Самостоятельная работа. Учащимся дается задание: «Исследовать функцию и построить ее график» При фронтальной беседе с группами вырисовывается алгоритм решения задачи и чертеж к ней. 4.Урок заканчивается подведением итогов Учащимся дается домашнее задание: найти в дополнительной литературе задачи на применение производной в других науках. Заключение В курсовой работе рассмотрена методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной. Нами выполнен анализ содержания стандарта среднего (полного) общего образования по математике, учебника Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.. с точки зрения изучения функций и их исследования с помощью производной В работе показано применение общей схемы к исследованию функций, разработаны задания для самостоятельной работы, контрольная работа. Нами проанализированы типичные ошибки учащихся при исследовании функций и построении графиков. В курсовой работе представлен план-конспект урока по теме: «Применение производной к исследованию функций» Список используемой литературы 1. Алгебра и начала анализа в 9-10 классах: Пособие для учителя / Л. О. Денищева, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев и др. − М.: Просвещение, 1988. – 272с. 2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. − 7-е изд., доп. − М.: Просвещение, 1998. − 365с. 3. Далингер В. А. Начала математического анализа. − Омск: ООО «Издательство-Полиграфист», 2002.-158с. 4. Далингер В.А. Методика обучения учащихся элементам математического анализа: Учебное пособие. − Омск: Издательство ОмГПУ, 1997. – 149с.: ил. -70, таб. 9. 5. Дороднов А.М., Острецов И.Н., Петросов В.А. Графики функций. Учеб. пос. для пост. в вузы-М.: Высшая школа,1972. 6. Зубкова Л. Н. Урок-семинар по теме «Производная и ее применение», Журнал «Математика в школе» №6, с.57-59. 7. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. Пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. Спец. / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; Сост. В. И. Мишин. − М.: Просвещение, 1987. – 416с. 8. Саакян С. М., Дудницын Ю. П. Примерное планирование учебного материала по математике в 10-11 классах, Журнал «Математика в школе» №7, с.2-5. 9. Тульчинская Е. Е. Поурочное планирование и контрольные работы по алгебре и началам анализа, Журнал «Математика в школе» №10, с.27. 10. Электронный ресурс: http://freemath.ru/load/shkolnaja_matematika
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (962)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |