Применение методов оптимизации для расчета БИХ-фильтров.
В последние годы широкое распространение получил другой класс методов расчета БИХ-фильтров, называемых методами оптимизации. Отличительной чертой этих методов является то, что система уравнений, составленная относительно коэффициентов фильтра, не может быть решена в явной форме. Поэтому для нахождения коэффициентов приходится использовать численные методы оптимизации, минимизирующие, согласно выбранному критерию, некоторую ошибку. В качестве такого критерия используется критерий минимума среднеквадратической ошибки. При этом целевая функция задачи имеет вид
где Минимизация функции При использовании методов оптимизации учитывается поведение только амплитудной характеристики, поэтому некоторые полюсы или нули после завершения итераций могут оказаться за пределами единичного круга. В этом случае можно прежде всего заменить полюс с полярными координатами 1. Использование программы оптимизации для минимизации функции 2. После завершения итераций инвертирование всех полюсов и нулей, оказавшихся вне единичного круга. После этого продолжение оптимизации для нахождения нового минимума
4. Описание метода синтеза фильтра
При разработке современных систем (в том числе и цифровых фильтров) возникает задача оптимального проектирования. Под этим термином понимается процесс разработки наилучшего, оптимального устройства (в каком-то смысле), как правило с помощью ЭВМ. Большинство методов оптимизации являются итерационными по своей природе. Как было уже сказано, большинство методов оптимизации, в том числе и методов безусловной оптимизации, носит итерационный характер. Это значит, что начиная с какой-либо точки х0, называемой начальным приближением, алгоритм оптимизации генерирует последовательность точек х1, х2,…хn, которая в принципе должна сходиться к точке Вектор В основу всех методов оптимизации положено следующее правило: значение целевой функции от итерации к итерации должно убывать. То есть должно выполняться следующее условие:
Данное условие называется условием спуска. Методы оптимизации, которые удовлетворяют этому условию, называются допустимыми или методами спуска. Основу всех методов спуска составляет следующая модельная схема: 1. к=0, выбирается начальное приближение 2. Проверяются критерий останова. Если критерий выполняется, то расчеты прекращаются и точка 3. Рассчитывается ненулевой n-мерный вектор 4. Вычисляется малое положительное число
5. Выполнение к-той итерации Шаг 4 в модельной схеме предполагает решение задачи одномерной минимизации – нахождение длины шага hk. Чтобы решить эту задачу, необходимо, чтобы вектор В модельной схеме значение целевой функции F(x) убывает от итерации к итерации. Тем не менее монотонно убывающая последовательность {F(x)} может не сойтись к минимуму по следующим причинам: 1. Как бы хорошо не выбиралось направление 2. Решение не удастся получить, если алгоритм расчета направления поиска Следовательно, для того, чтобы получить гарантированно сходящуюся последовательность в соответствии с модельной схемой необходимо, чтобы длина шага hk обеспечивала бы существенное убывание целевой функции от итерации к итерации и, чтобы угол между вектором-градиентом и направлением поиска на каждой итерации был больше 90 градусов. Помимо этих двух требований для обеспечения сходимости модельной схемы необходимо еще одно условие, которое накладывается на множество уровней целевой функции. Для функции F(x) и числа Таким образом, если · функция F(x) непрерывна и дважды дифференцируема; · ее множество уровней ограничено и замкнуто; · функция F(x) существенно убывает от итерации к итерации и на каждом шаге угол между вектором-градиентом и направлением поиска всегда не равен 90 градусам на фиксированную положительную величину, то алгоритм модельной схемы генерирует последовательность точек, для которых справедливо Сходимость такого рода называется глобальной, так как она не предполагает близости начального приближения точки Четвертый шаг модельной схемы предполагает вычисление длины шага, то есть скалярной величины
Для того, чтобы выбрать
Чем точнее будет находиться минимум функции Для нахождения минимума 1. Эффективные методы одномерного поиска (метод Золотого сечения и метод Фибоначчи); 2. Методы полиномиальной интерполяции (Пауэлл, Ньютон, сплайн-интерполяция). Для конкретизации модельной схемы помимо процедуры вычисления длины шага hk необходимо также задавать алгоритм расчета требуемого направления поиска В отличие от одномерного случая, где возможно всего лишь два направления движения ( вперед и назад), уже в двумерной задаче множество направлений поиска является бесконечным. В этом случае возникает проблема выбора направления поиска В данной курсовой работе в качестве метода синтеза применяется метод сопряженных градиентов. В группе данных методов процедура вычисления направления поиска не предполагает решения каких либо СЛАУ. Эти методы принципиально отличаются от методов Ньютна и квазиньютоновских методов. Рассмотрим задачу поиска минимума квадратичной функции вида:
с,G - вектор и полноопределенная матрица, независящие от вектора Предполагается, что нам известно к-тое приближение в точке минимума Будем искать точку минимума целевой функции Ф( Множества, образованные вида Задача сводится к нахождению точки минимума Ф( Для решения этой задачи сначала вводится матрица Рк=[ То есть надо найти вектор Для решения этой задачи необходимо сначала в функцию Ф(х) вместо
Если есть функция
Тогда точка минимума
Формулу (1) можно рассматривать как формулу рекуррентного расчета точки Формула (1) обладает рядом свойств:
то есть каждая компонента должна быть равна нулю
Так как предполагается, что все точки xj при j=1,к рассчитывается по формуле (1), то справедливо следующее свойство:
Тогда формулу (1) можно преобразовать
ек – (к+1) столбец единичной матрицы С учетом всего этого формула (1) примет вид
Последнее выражение можно упростить, если матрица
Тогда получаем упрощенное выражение
Таким образом мы установили, что среди методов минимизации квадратичных функций, укладывающихся в общую модельную схему, существует метод, к-тая итерация которого приводит в точку минимума функции Ф( Теоретически такой метод конечен, то есть он обеспечивает нахождение минимума функции Ф( Для того, чтобы полностью определить метод сопряженных градиентов необходимо определить правило выбора вектора
1. 2.
Метод сопряженных градиентов для квадратических функций легко обобщается на случай целевой функции общего вида. Для этого необходимо ввести процедуру одномерного поиска длины шага hk и определиться, всегда ли направление поиска будет выдаваться по формуле (2) или допустимы отступления от нее. Такие отступления называются восстановлениями или рестартами. В начале рестарта вектор Таким образом, хотя схема метода сопряженных градиентов далека от идеала, тем не менее этот метод остается единственным разумным средством для решения задачи оптимизации очень большой размерности (число переменных более 1000000).
5. Результаты синтеза
Синтез фильтра в данной курсовой работе был проведен на ЭВМ. В результате были получены следующие характеристики фильтра верхних частот третьего порядка:
Устойчивость фильтра можно оценить по карте нулей и полюсов, полученных в результате синтеза фильтра:
Коэффициенты фильтра:
Заключение
В данной курсовой работе был рассчитан цифровой фильтр высоких частот 3-го порядка. Результаты расчета показали, что фильтр является устойчивым, поскольку нули и полюса фильтра лежат внутри единичной окружности, что иллюстрируется картой нулей и полюсов, а это является достаточным условием устойчивости цифрового фильтра. Также в работе представлены частотные характеристики, которые полностью удовлетворяют требованиям технического задания.
Список использованной литературы
1. Смирнов А.А. Лекции по курсу “Теория проектирования радиоэлектронных систем управления и передачи информации”, 2004г. 2. Езерский В.В. Лекции по курсу “Цифровая обработка сигналов и микропроцессоры в радиоуправлении”, 2003г. 3. Езерский В.В., Паршин В.С. Теоретические основы цифровой обработки сигналов: Учебное пособие. РГРТА, Рязань, 1996г.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (188)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |