Интерполяционная теорема Рисса – Торина
И ее применение. Прежде чем рассмотреть теорему Рисса – Торина и ее приложение, приведем определения и докажем факты, связанные с теорией банаховых пространств, которые понадобятся для этого. Определение. Последовательность Верно следующее утверждение. Утверждение. Если последовательность Обратно верно не всегда. Определение. Метрическое пространство Определение. Если пространство Определение. Пусть Утверждение 4 . Пусть оператор Доказательство. Возьмем Докажем, что Возьмем произвольное положительное число
Пусть а) Проверим корректность определения оператора Итак, б) Докажем линейность оператора А. Пусть
Получили в) Докажем непрерывность оператора А. Возьмем
С другой стороны, по определению Учитывая неравенства (*) и (**) , установили равенство Определение. Функция Теорема Лебега. Если последовательность Предложение 4. Множество простых функций всюду плотно в Доказательство. I.Обозначим
Ясно, что для почти всех С другой стороны, II. Приблизим Обозначим По свойству интеграла Лебега для любого положительного Отрезок Обозначим
Рассмотрим функцию В результате нашлась простая функция
III. Таким образом,
Первая интерполяционная теорема в теории операторов была получена М.Риссом в 1926 году в виде некоторого неравенства для билинейных форм. Ее уточнение и операторная формулировка были даны Г.О.Ториным. Вся теория интерполяции линейных операторов первоначально развивалась в направлении обобщения этой теоремы. Дадим ее формулировку. Теорема. Пусть
Теперь рассмотрим приложение теоремы Рисса – Торина в доказательстве следующего факта. Теорема. Пусть Доказательство. Нужно доказать, что I. Пусть функция 1) Рассмотрим оператор свертки на множестве простых функций и проверим, что он типа 2) Проверим, что оператор Т типа Рассмотрим случай, когда функция g имеет вид:
Обозначим Тогда правая часть равенства примет вид
Рассмотрим первое слагаемое
Таким образом, учитывая (1),(2),(3), получим
Далее имеем
Совершенно аналогично доказывается 1) Таким образом, из пунктов I.1 и I.2 получим, что следовательно,
Таким образом, применив теорему Рисса – Торина, установили истинность доказываемого утверждения для всех простых функций II. Пусть По предложению 4 множество простых функций всюду плотно в По утверждению 4 оператор свертки
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (226)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |