Аффинная система координат.
ГОУВПО «Арзамасский государственный педагогический институт имени А.П.Гайдара» Кафедра алгебры, геометрии и методик их преподавания.
Дипломная работа
«Многомерные пространства»
Выполнил: студент 54 группы физико-математического факультета Карасёв Алексей
Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент: Елисеев Е.М .
Арзамас 2008г.
Введение. Глава 1. Аффинное пространство. Аффинное n -мерное пространство. Аффинная система координат. Квадрики в аффинном пространстве. Классификация квадрик в аффинном пространстве. Различные виды уравнений k -плоскостей. Взаимное расположение k -плоскостей. Расстояние между k -плоскостями. Глава 2. Евклидово пространство. N- мерное евклидово пространство. Расстояние между двумя точками. Угол между векторами. Движения евклидова пространства. 1.4. Группы движений пространства . Преобразование подобия. Группа подобий. Квадрики в евклидовом n -пространстве. Задачи. Заключение. Литература.
Введение. Многомерная геометрия- геометрия пространств размерности, большей трёх. Термин «Многомерная геометрия» применяется к тем пространствам, геометрия которых была первоначально развита для случая трёх измерений и только потом обобщена на число измерений n>3, то есть прежде всего к евклидову пространству, а также к пространству Лобачевского, Римана, проективному, аффинному. Исторически представление в более чем 3-мерном пространстве зарождалось постепенно; первоначально - на почве геометрического представления степеней: - «квадрат», - «куб», но и т.д. уже не имеет наглядного представления, и говорили - «биквадрат», - «кубоквадрат» и т.п. (еще у Диофанта в 3в. и далее ряда средневековых авторов). Мысль о многомерном пространстве выражал И.Кант (1746 г), а о присоединении к пространству в качестве 4-й координаты времени писал Ж. Д´ Аламбер. Построение же евклидовой многомерной геометрии было осуществлено А.Кэли (1843г.), Г.Грассманом (1844г.) и Л.Шлефли(1852г.). Первоначальные сомнения и мистика, связанные со смешением этих обобщений с физическим пространством, были преодолены, и n-мерное пространство как плодотворно формально-математическое понятие скоро полностью укрепилось в математике. Евклидово пространство произвольного числа измерений n (не исключая случая бесконечно - мерного) проще всего определить как такое , в котором выделены подмножества – прямые и плоскости, имеются обычные отношения : принадлежности порядка, конгруэнтности (либо определены расстояния или движения), и выполняются все обычные аксиомы, кроме следующей: две плоскости , имеющие общую точку, имеют по крайней мере еще одну. Если это выполнено, то пространство 3-мерно, если же не выполнено, так что есть две плоскости с единственной общей точкой, то пространство, как минимум , 4- мерно. Совершенно аналогично евклидову пространству определяются пространство Лобачевского и аффинное . В пространстве выполняются все те же аксиомы, что в , с заменой аксиомы параллельности на противоположную, а в - все аксиомы за исключением аксиом конгруэнтности, вместе с которыми исключается и само понятие конгруэнтности. Аналогично, изменением аксиом сочетания можно определить n-мерное проективное пространство . Другой способ определения всех этих пространств состоит в том, что в них вводятся координаты, задается группа их преобразований и геометрическими считаются те и только те соотношения, которые инвариантны относительно этой группы. В случае – это группа подобий; для - это группа всех линейных (неоднородных) преобразований.
Аффинное n -мерное пространство. Пусть V-векторное пространство над полем K .Элементы из V будем обозначать так: , ,…, , ,…. Множество E называют аффинным пространством над векторным пространством V над полем K,если задано отображение : E E V, удовлетворяющая двум условиям (аксиомам Вейля аффинного пространства): 1. Для каждого элемента A E отображение : E V по закону ( B )= ( A , B ), B является биекцией. Каждой упорядоченной паре (A , B ) элементов A , B E отображение ставит в соответствие определенный вектор (A , B )= V . Этот вектор обозначают через . По аксиоме 1 для каждых A E , V существует и притом единственный элемент X , такой, что = 2. + = , A , B , C E . Элементы A , B , C ,...аффинного пространства E называются точками. Векторы ,…из V называются переносами (или свободными векторами) пространства E , а векторное пространство V -пространством переносов аффинного пространства E . Отметим некоторые следствия из определения аффинного пространства: 1) = = По аксиоме 2 + = (1) + = (2) (1), (2) + = + Вычитая из обеих частей равенства вектор = , получим = ; 2) вектор - нулевой вектор пространства переносов. Для любых A , B имеем: + = = , где - нулевой вектор пространства V . Так как в векторном пространстве V нулевой вектор единственный, то = A , B E ; 3) =- По аксиоме 2 + = + = т.е. векторы и пространства V противоположны один другому и, значит, =- 4) = A = B . По аксиоме 2 + = и так как по условию = то = . Значит, - = - и по следствию 3 = . Отсюда по аксиоме 1 A = B .
Аффинная система координат. Пусть Е n -мерное аффинное пространство над полем К, V –пространство переносов. Аффинной системой координат, или аффинным репером в пространстве Е, называется упорядоченное множество R из n +1 точек О, , …, таких, что векторы = ( =1,2,…,n) образуют базис пространства V. Точки будут определены , если задать точку О и базис { } в V . Поэтому вместо R ={ O , …, } обычно пишут: R = …, }.Точку O называют началом репера R , векторы -координатными векторами. Зададим в аффинном пространстве Е какой-либо репер R ={ O , , ,… }.Для каждой точки M E определен вектор , который называется радиус – вектор точки M . Вектор разложим по векторам базиса { = + +…+ , (3) где , ,…, - элементы поля К; они называются координатами точки M в репере R. Формулу (3) можно записать короче: = , или = . (4) Индекс у буквы x показывает номер координаты. Кроме выбранного репера R , в аффинном пространстве существуют и другие аффинные реперы. Возьмем еще один репер R ´={ O ´, …, }. Пусть - координаты точки O ´ в репере R : ´= . (5) Вектор ´= ( разложен по векторам старого базиса { }, причем определитель det матрицы C= отличен от нуля ,так как векторы ´, …, образуют базис пространства V. Матрица С называется матрицей перехода от старого базиса { } к новому базису { ´}. Для произвольной точки M Е имеем: = ´+ . (6) Пусть – координаты точки М в репере R и – координаты этой же точки в репере R ´. Учитывая (5), запишем равенство (6) в виде: = + . Используя ( , получим: = + Отсюда в силу линейной независимости векторов : = , det (7) Равенства (7) выражают старые координаты точки М через ее новые координаты и представляют собой формулы преобразования координат точки М Е. Пусть Е- n-мерное аффинное пространство над полем К, V -пространство переносов. Если взять точку О, то по первой аксиоме Вейля отображение :E V по закону (М)= является биекцией. С помощью этой биекции можно отождествить аффинное пространство E и векторное пространство V (отождествить каждую точку М Е с ее радиус-вектором V).
Квадрики в аффинном пространстве. Квадрикой (или поверхностью второго порядка) Q в аффинном пространстве называется место точек этого пространства, координаты которых в каком–либо аффинном репере R ={ O , } удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени: +2 + =0. (1) Перенесем начало координат в точку ( , т.е. перейдем к реперу R ´={ }. Формулы преобразования координат при этом имеют вид: = + где -старые, а - новые координаты точки M . Уравнение квадрики в новых координатах примет вид: ( + )( + )+2 ( + )+ =0 или +2 + =0, (2) где = + = +2 + (3) Центром квадрики Q называется ее центр симметрии. Если в уравнении (2) =0 (i =1,2,…, n ) и М( то и М´(- ) Q и ,значит, - центр квадрики Q . Верно и обратно: если - центр квадрики Q, то в уравнении(2) не будет членов с первыми степенями : =0. Пусть - центр квадрики Q и M ( и, следовательно, координаты точки M удовлетворяют уравнению (2). Тогда и M´(- ) : -2 + =0 . (4) Вычитая равенство (4) из равенства (2), находим =0 . (5) Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M . Теорема. Точка является центром квадрики (1) тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют системе уравнений: + =0. (6) При решении системы (6) встречаются три случая. 1. det 0,т.е. ранг =n. Система (6) имеет единственное решение, и, значит, квадрика Q –единственный центр. Такая квадрика называется центральной. 2. det =0,но ранг = ранг =r. Система (6) совместна, и в ней можно оставить лишь r n линейно независимых уравнений. Они определяют (n - r)-плоскость (плоскость центров), каждая точка которой служит центром квадрики. 3.det =0,но ранг ранг . Система (6) несовместна,- квадрикаQ не имеет центра. В случае 2 и 3 квадрика называется нецентральной.
Классификация квадрик в аффинном пространстве. Пусть относительно репера R ={ O , квадрика Q определяется уравнением: +2 + =0 (1) Переход к другой аффинной системе координат (к другому реперу R ´={ O ´, ) можно выполнить в два приема: а) перенос начала: от репера R переходим к реперу ={O´, с теми же координатными векторами . При этом коэффициенты квадратичной формы не изменяются ,тогда как коэффициенты и свободный член вообще изменяются; б) замена базиса { на базис { } в пространстве переносов V: = При этом старые координаты любой точки M выражаются через ее новые координаты с помощью системы уравнений : = Внесем эти выражения в уравнение (1), получим уравнение квадрики Q в новых координатах : +2 + =0, (2) Следовательно, при замене базиса { изменяются коэффициенты квадратичной формы и коэффициенты но не меняется свободный член . При любом преобразовании аффинной системы координат ранг и индекс квадратичной формы не меняются. Уравнение квадрики, имеющей хотя бы один центр имеет вид: ( + +…+ + =0 . ( Уравнение квадрики, не имеющей центра ( +…+ ( +2b =0 . ( ) Рассмотрим уравнение ( . Возможны следующие частные случаи: 1. r = n. Уравнение определяет центральную квадрику (с центром в точке =0). А) - центр не лежит на квадрике. Пусть =- , приведем уравнение ( ) к каноническому виду: ( =1 (3) Если в уравнении (3) все коэффициенты положительны, , то, обозначив = , получим нормальное уравнение эллипсоида: ( + ( +… +( =1. ) В уравнении (3) все . Обозначив = , получим нормальное уравнение мнимого эллипсоида (не содержит ни одной точки из ): ( + ( +… +( =-1;
) В уравнении (3): (t=1,2,…,n-l) , (s=n-l+1,…n). Такая квадрика называется гиперболоидом индекса l . Полагая , , найдем нормальное уравнение этой квадрики: + +…+ -…- =1. Б) =0- центр лежит на квадрике. Ее каноническое уравнение: =0 ( = ). (4) Квадрика называется конусом с вершиной в точке О. ) Все имеют одинаковые знаки. Квадрика называется мнимым конусом (квадрика содержит лишь одну точку О ). В этом случае уравнение (4) приводится к виду: +…+ =0. В уравнении (4): (t=1,2,…,n-l) , (s=n-l+1,…,n). Квадрика Q называется конусом индекса l ,если l n-l,т.е. l . 2. r n.Система уравнений, определяющих центр: =0 (t=1,2,…,r); учитывая что ). Значит, множество центров – ( n - r )-мерная координатная плоскость . А) . Обозначив =- , запишем уравнение (1) в каноническом виде: =1 (t=1,2,…,r). (5). Квадрика называется цилиндром. Все виды квадрик аффинно различны. Это значит, что не существует аффинного преобразования, которое переводило бы квадрику одного вида в квадрику другого вида. Квадрики, не принадлежащие одному виду, имеют различные нормальные уравнения. Выпишем канонические уравнения квадрик в трехмерном аффинном пространстве. а) r =3. Тогда: 1) + + =1 ( ) -эллипсоид; 2) + + =-1 ( )- мнимый эллипсоид; 3) + - =1 ( ) - однополостный гиперболоид (гиперболоид индекса 1); 4) - - =1 ( ) - двуполостный гиперболоид; 5) + + =0 ( )- мнимый конус; 6) + - =0 ( ) - конус с вершиной в точке O. б). r . Тогда: 7) + 2019-12-29 |
451 |
Обсуждений (0) |
|
5.00
из
|
|
Обсуждение в статье: Аффинная система координат. |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы