Оператор дифференцирования.
Рассмотрим оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом: Дf(x) = f/(x); Функция f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b];
Проверим оператор Д на линейность, по определению 1: 1) Аксиома аддитивности: Д(f+g) = Д(f) + Д(g). Д(f+g) = (f+g)/ = f/ + g/ = Д(f) + Д(g). 2) Аксиома однородности: Д(kf) = kД(f). Д(kf) = (kf) / = k(f)/ = kД(f). Исходя из свойств производной: 1. производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме их производных; 2. постоянный множитель можно вынести за знак производной. Можно утверждать, что Д – линейный оператор.
3) Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны, это следует из теоремы 3. 3.1) Для начала покажем, что Д не является непрерывным оператором. Задан оператор Дf(x) = f/(x) подпространства E C[0, 2 ], состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство C[0, 2 ]. Рассмотрим f0(x) = 0 C[0, 2 ] и последовательность функций fn(x)= . В пространстве E C[0, 2 ]: p (f0, fn) = | | = 0, следовательно fn f0. Рассмотрим последовательность образов: Д(fn ) = cos(nx). Имеем: p (Дfn, Дf0) = |cos(nx)| = 1. Это означает, что Дfn не может сходиться к Дf0 , то есть отображение Д терпит разрыв в f0. Поскольку оператор не является непрерывным, то, следовательно, он и не является ограниченным. 3.2) Теперь покажем, как из неограниченности оператора следует его разрывность. Пусть оператор Д действует из C[0, 1] в C[0, 1], оператор Дf(x) = f/(x); Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную. В пространстве C[0, 1] норма ||f|| = |f(t)|. Возьмем из C[0, 1] последовательность fn(t) = tn. Она ограничена в C[0, 1]: ||fn(t)|| = |tn| = 1. Рассмотрим Д fn(t): Д fn(t) = f/n(t) = n tn-1; ||f/n(t)|| = |n tn-1| = n. В результате получили, что оператор Д переводит ограниченное множество в неограниченное, значит, по определению этот оператор не является ограниченным, а по теореме 3 не является непрерывным.
Вывод: Оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом: Дf(x)=f/(x), где функция f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b]: 1. линейный; 2. не ограниченный; 3. не непрерывный. Оператор сдвига
Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[ ], заданный следующим образом: Af(x) = f(x+a). Функции f(x), f(x+a) C[ ], a R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция.
Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться следующие аксиомы : 1) Аксиома аддитивности: А(f+g) = А(f) + А(g). А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g). По определению суммы функции, аксиома верна. 2) Аксиома однородности: А(kf) = kА(f). A(k*f(x)) = k*f(x+a) = k*A(f(x)). Аксиомы 1 и 2 верны, следовательно можно сделать вывод, что А – линейный оператор.
3) Проверим является ли оператор A непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности: p (fn(x), f0(x)) 0 p (A fn(x), Af0(x)) 0. Оператор А действует в пространстве C[ ], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом: p (fn(x), f0(x)) = | fn(x) - f0(x)|. Решение: p (A fn(x), Af0(x)) = |Afn(x) - Af0(x)| = |fn(x+a) - f0(x+a)| = = |fn(t) - f0(t)| = p (fn(t), f0(t)) 0. Таким образом p (A fn(x), Af0(x)) 0. Следовательно оператор А непрерывен.
4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного оператора есть норма, найдем норму оператора А (по определению 5): ||A|| = |Af| = |f(x+a)| 1. Поскольку ||f|| = |f(x)| 1. Норма А: ||A|| = 1. 5) Обратимость оператора А: Af(x) = f(x+a) Такой оператор A сдвигает функцию на const a; обратный к A оператор будет сдвигать функцию на const (-a): A-1f(x) = f(x-a). 6) Спектр оператора А. Рассмотрим пространство непрерывных функций – С[0, + ), имеющих конечный предел на : Af(x) = f(x+a), a 0. Вопрос о спектре оператора А касается разрешимости в пространствах С[0,b) и С[а,+ ). Введем функцию V(x) = при | |<1, 0, найдем ее предел: = 0 Следовательно рассмотренная функция входит в пространство С[0,+ ). Теперь рассмотрим V(x+a) = = * = *V(x). Для =0 подберем непрерывную функцию = 0 при x а и не равную 0 при x [0, a]. Для этой функции A(V(x)) = 0 то есть она является собственным вектором для числа 0; функция V(x) = с, так же удовлетворяет разностному отношению V(x) - V(x+a) = 0. Значит =1 точечному спектру и в том и в другом пространстве. И все точки внутри единичного круга точечному спектру. Покажем, что остальные точки окружности точечному спектру оператора А в пространстве С[0, + ). Рассмотрим U(x) = и число = (| | = 1); U(x+a) = = = U(x); U(x) = = Cos( ) + iSin( ), принадлежит пространству С[0,b) так как мнимая и действительная части – функции ограниченные, но не принадлежат пространству С[a, + ) так как не имеют конечного предела на . Если точки лежат вне единичного круга, то они регулярные для оператора А в 2-х пространствах. Покажем, что в пространстве С[0, + ) точки = , 2 n не будут собственными числами. Докажем это от противного: пусть найдется = , 2 n – собственное число, тогда найдется функция f(x) С[0, + ), что f(x+a) = f(x). Применим оператор А n раз: f(x+n*a) = nf(x), тогда f(x+na) = nf(x), у левой части предел конечен; правая часть предела не имеет, так как не имеет предела последовательность n = = Cos( n) + iSin( n). Следовательно = , 2 n собственным числом не является. Эти точки будут принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0,+ ), так как спектр замкнутое множество и граница единичного круга должна принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0, + ). Сделаем вывод: При | |>1 все точки регулярные; При | |<1 и =1 – точки спектра; При = , 2 n – точки непрерывного спектра.
Вывод: Оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[ ], заданный следующим образом: Af(x) = f(x+a), где функции f(x), f(x+a) C[ ], a R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция: 1. линейный; 2. непрерывный и ограниченный; 3. норма А: ||A|| = 1; 4. A-1f(x) = f(x-a); 5. Спектр оператора А: · при | |<1 и =1 – точки спектра; · при = , 2 n – точки непрерывного спектра; · При | |>1 все точки регулярные.
Заключение
В ходе проделанной работы были рассмотрены основные определения теории линейных операторов: непрерывность, ограниченность, норма, спектр оператора и резольвента. Проведено исследование четыре оператора: оператор умножения на непрерывную функцию, оператор интегрирования, оператор дифференцирования, оператор сдвига. Можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.
Список литературы 1. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука; Главная редакция физико–математической литературы, 1972. 2. Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В.И. Соболев. - М.: Наука, 1968. 3. Петров, В.А., Виленкин, Н.Я, Граев, М.И. Элементы функционального анализа в задачах [Текст]/ В.А. Петров, Н.Я. Виленкин, М.И. Граев под ред. О.А. Павлович. - М.: Просвещение, 1978. 4. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория [Текст]/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц; под ред. А.Г. Костюченко; пер. с англ. Л.И. Головина, Б.С. Литягина. – М.: Издательство иностранной литературы, 1926.
[1] Ex и Ey - линейные многообразия, то есть если x, y Ex , то x + y Ey , при , . Ex – область определения А; Ey - область значения А; [2] Равенства 1 и 2 определяются как аксиомы аддитивности и однородности; [3]Шаром в метрическом пространстве называется совокупность элементов x пространства, удовлетворяющих условию p ( xn , x 0 ) < а. Шар D ( x 0 , a ). Если p ( xn , x 0 ) а, то D ( x 0 , a ) – замкнутый шар. Если p ( xn , x 0 ) = а, то S ( x 0 , a ) – сфера. Всякий шар метрического пространства, содержащий точку y , называется окрестностью точки y .
[4]Свойства нормы оператора. 1) Если оператор ограничен, , то и оператор ограничен, причем . 2) Если операторы ограничены, то и оператор ограничен, причем и .
[5]Линейный функционал, есть частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал есть линейный оператор, переводящий пространство E в числовую прямую.
[6] Резольвента – это функция комплексного переменного со значениями во множестве операторов, определенная на множестве регулярных чисел данного оператора.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (415)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |