Геометрическое преобразование
абстрактного векторного пространства
на абстрактное векторное пространство
- это биекция
со следующим свойством: подмножество
пространства
тогда и только тогда является подпространством в
, когда
- подпространство в
.
Очевидно, что композиция геометрических преобразований - геометрическое преобразование и преобразование, обратное к геометрическому, - также геометрическое. Геометрическое преобразование сохраняет включение, объединение и пересечение подпространств, а также ряды Жордана -- Гёльдера, поэтому справедливо следующее предложение.
Предложение Если
- геометрическое преобразование пространства
на
, то для любых подпространств
,
пространства
выполняются соотношения
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1331.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1333.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1335.png)
Под проективным пространством
пространства
мы будем понимать множество всех подпространств пространства
. Таким образом,
состоит из элементов множества
, являющихся подпространствами в
;
- это частично упорядоченное множество, отношение порядка в котором индуцируется теоретико-множественным включением в
. Любые два элемента
и
из
имеют объединение и пересечение, а именно
и
, так что
- решетка; она имеет наибольший элемент
и наименьший элемент
. Каждому элементу
пространства
сопоставляется число
. Каждое
из
обладает рядом Жордана -- Гёльдера
, и все такие ряды имеют длину
. Положим
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1371.png)
и назовем
,
,
множествами прямых, плоскостей и гиперплоскостей пространства
соответственно.
Проективность
пространства
на
- это биекция
со следующим свойством: для любых
,
из
включение
имеет место тогда и только тогда, когда
.
Очевидно, что композиция проективностей - проективность и отображение, обратное к проективности, - также проективность. Проективность пространства
на
сохраняет порядок, объединения, пересечения и ряды Жордана -- Гёльдера для элементов пространств
и
, поэтому справедливо следующее предложение.
Предложение Если
- проективность пространства
на
, то для любых элементов
,
из
выполняются соотношения
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1407.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1409.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1411.png)
В частности,
отображает
на
и определяется своими значениями на
, т. е. на прямых.
Если
- геометрическое преобразование, то отображение
, полученное из
сужением, является проективностью пространства
на
. Всякая проективность
, имеющая вид
для некоторого такого
, будет называться проективным геометрическим преобразованием пространства
на
. Черту мы будем всегда использовать для обозначения проективного геометрического преобразования
, полученного описанным способом из геометрического преобразования
. Таким образом,
переводит подпространство
пространства
, т.е. точку
из
, в подпространство
пространства
. Имеем
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1447.png)
В частности, композиция проективных геометрических преобразований и преобразование, обратное к проективному геометрическому, сами являются проективными геометрическими.
Геометрическое преобразование пространства
есть по определению геометрическое преобразование пространства
на себя. Множество геометрических преобразований пространства
является подгруппой группы подстановок множества
. Она будет обозначаться через
и называться общей геометрической группой пространства
. Под группой геометрических преобразований пространства
мы будем понимать произвольную подгруппу группы
. Общая линейная группа
и специальная линейная группа
являются, следовательно, группами геометрических преобразований. Под группой линейных преобразований будем понимать любую подгруппу группы
.
Проективность пространства
есть по определению проективность этого пространства на себя. Множество проективностей пространства
- подгруппа группы подстановок множества
, которую мы будем называть общей группой проективностей пространства
. Применение черты индуцирует гомоморфизм
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1470.png)
Иногда мы будем использовать
вместо
, полагая
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1475.png)
для образа
подмножества
из
при
. В частности,
и
- подгруппы группы проективностей пространства
, они называются проективной общей линейной группой и проективной специальной линейной группой пространства
. Было доказано, что
совпадает с группой всех проективностей пространства
, поэтому мы используем это обозначение для обеих групп. Под группой проективностей пространства
будем понимать любую подгруппу группы
, а под проективной группой линейных преобразований пространства
- любую подгруппу группы
.
Для каждого ненулевого элемента
из
определим линейное преобразование
, полагая
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1505.png)
Ясно, что
. Преобразование
из
вида
для некоторого
будем называть растяжением пространства
. Множество растяжений пространства
является нормальной подгруппой группы
, которая будет обозначаться через
. Очевидно, имеет место изоморфизм
. Имеют место следующие два предложения.
Предложение Элемент
группы
тогда и только тогда принадлежит группе
, когда
для всех прямых
из
. В частности,
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1533.png)
и
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1535.png)
Предложение Централизатор в
любого элемента из
, не являющегося растяжением, абелев.
Пусть теперь
- регулярное знакопеременное пространство. Тогда
будет, конечно, группой геометрических преобразований пространства
. Под группой симплектических преобразований знакопеременного пространства
мы будем понимать произвольную подгруппу из
. Группа
, получаемая из
применением гомоморфизма
, называется проективной симплектической группой знакопеременного пространства
. Под проективной группой симплектических преобразований пространства
будем понимать любую подгруппу группы
.
Предложение Если
- ненулевое регулярное знакопеременное пространство, то
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1559.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1561.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1563.png)
Доказательство является легким упражнением и потому опускается.
Предложение Если
- регулярное знакопеременное пространство и
, то
.
Доказательство. Взяв симплектическую базу пространства
, с помощью без труда убеждаемся, что элемент
из
тогда и только тогда лежит в
, когда
.
Полярностью абстрактного векторного пространства
над полем
называется биекция
,
, такая, что
1)
,
2) ![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza16/1267048729433.files/image1587.png)
для всех
,
из
. Если
- регулярное знакопеременное пространство над
, то, очевидно,
- полярность; она называется полярностью, определенной знакопеременной формой
, имеющейся на
.
Предложение Пусть
- абстрактное векторное пространство над полем
и
. Предположим, что
- регулярное знакопеременное пространство относительно каждой из двух знакопеременных форм
и
. Формы
и
тогда и только тогда определяют одну и ту же полярность, когда найдется такой ненулевой элемент
из
, что
.
Доказательство. Если
, то утверждение очевидно. Остается доказать обратное утверждение. Так как
регулярно относительно
и
, то ввиду и ассоциированные линейные отображения
и
биективны, т. е.
и
. Из и предположения о том, что
и
определяют одну и ту же полярность, следует, что
для всех подпространств
из
. Следовательно,
- элемент группы
, относительно которого инвариантны все подпространства из
, В частности, относительно него инвариантны все прямые из
. Значит, ввиду
. Другими словами, найдется такой ненулевой элемент
из
, что
для всех
из
. Но тогда
для всех
из
. Поэтому
.