Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве
Полагая, что понятия плоскости и трехмерного пространства известны читателю из школьного курса геометрии, обобщим, а в некоторых случаях уточним, начальные сведения о векторах. Вектором называется направленный отрезок Длиной (модулем, нормой) Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, и компланарными, если их количество равно трем и они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если точки начала и конца вектора совпадают, например, Произведением вектора Противоположным вектором вектору
Перенесем вектор параллельно самому себе таким образом, чтобы его начальная точка совпала с началом координат. Тогда можно ввести понятие координат вектора. Координатами вектора называются координаты его конечной точки, если его начальная точка помещена в начало координат. При этом координатами вектора
В соответствии с приведенными определениями не трудно показать, что суммой векторов Из тех же определений следует, что длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат: соответственно, на плоскости и в трехмерном пространстве.
Скалярным произведением
соответственно, на плоскости и в трехмерном пространстве. Если
т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Очевидно, что косинус угла между векторами будет определяться выражением:
3.2. N -мерный вектор и векторное пространство Определение. N -мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел:
По аналогии с векторами на плоскости (двухмерными векторами) и в трехмерном пространстве (трехмерными векторами) можно сформулировать следующие правила, которые следует рассматривать как аксиомы.
Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. Суммой двух n-мерных векторов называется n-мерный вектор, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. если Произведением n -мерного вектора на действительное число называется n-мерный вектор, компоненты которого равны произведению этого числа на соответствующие компоненты этого вектора, т.е. если
Операции над векторами, установленные этими правилами, принято называть линейными операциями. Линейные операции над векторами должны удовлетворять целому ряду свойств, рассматриваемых как аксиомы.
Существует нулевой вектор Для любого вектора Для любого вектора
Определение. Векторным (линейным) пространством называется множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведенным восьми аксиомам,
ПРИМЕР: Для заданной матрицы А размера m x n строки этой матрицы можно рассматривать как множество n-мерных векторов.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (205)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |