Примеры решения СЛАУ методом Гаусса
В данном разделе на трех различных примерах покажем, как методом Гаусса можно решить СЛАУ. Пример 1. Решить СЛАУ 3-го порядка.
Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на 2/3 и 1 соответственно и сложим с первой строкой:
Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, домножив вторую строку на 6 и вычитая из неё третью:
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма. На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем: из третьего; из второго, подставив полученное ; из первого, подставив полученные и . В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений. Пример 2. Решить неопределенную СЛАУ 4-го порядка:
В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы
исходная система свелась к ступенчатой, где количество уравнений меньше, чем количество неизвестных:
Поэтому общее решение системы: x2=5x4–13x3–3; x1=5x4–8x3–1. Если положить, например, что x3=0, x4=0, то найдем одно из частных решений этой системы x1=-1, x2=-3, x3=0, x4=0. Пример 3. Решить СЛАУ 4-ого порядка. Условие:
х 1 – 2х 2 – х 3 + х 4 = 1 х 1 – 8х 2 – 2х 3 – 3х 4 = -2 2х 1 + 2х 2 – х 3 + 7х 4 = 7 х 1 + х 2 + 2х 3 + х 4 = 1
Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4х5 , слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены. 1 -2 -1 1 | 1 1 -8 -2 -3 | -2 2 2 -1 7 | 7 1 1 2 1 | 1 Проведём следующие действия: a) из второй строки вычтем первую строку (c трока 2 – строка 1); b) из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 2 (c трока 3–2 х строка 1) c) из четвертой строки вычтем первую строку (c трока 4 – строка 1). Получим: 1 -2 -1 1 | 1 0 -6 -1 -4 | -3 0 6 1 5 | 5 0 3 3 0 | 0 Проведём следующие действия: a) к третьей строке прибавим вторую строку (строка 3 + строка 2); b) четвертую строку поделим на 3 (строка 4 = строка 4 / 3). Получим: 1 -2 -1 1 | 1 0 -6 -1 -4 | -3 0 0 0 1 | 2 0 1 1 0 | 0 Проведём следующие действия: a) четвертую строку поставим на место второй строки; b) третью строку поставим на место четвертой строки; c) вторую строку поставим на место третьей строки. Получим: 1 -2 -1 1 | 1 0 1 1 0 | 0 0 -6 -1 -4 | -3 0 0 0 1 | 2 К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 6 (строка 3 + 6 × строка 2). Получим: 1 -2 -1 1 | 1 0 1 1 0 | 0 0 0 5 -4 | -3 0 0 0 1 | 2 Проведём следующие действия: a) к третьей строке прибавим четвертую, умноженную на 4 (строка3 + 4×строка4); b) из первой строки вычтем четвертую строку (строка 1 – строка 4); c) третью строку поделим на 5 (строка 3 = строка 3 / 5). Получим: 1 -2 -1 1 | 1 0 1 1 0 | 0 0 0 1 0 | 1 0 0 0 1 | 2 Проведём следующие действия: a) из второй строки вычтем третью строку (строка 2 – строка 3); b) к первой строке прибавим третью строку (строка 1 + строка 3). Получим: 1 -2 0 0 | 0 0 1 0 0 | -1 0 0 1 0 | 1 0 0 0 1 | 2 c) К первой строке прибавим вторую строку, умноженную на 2 (строка 1 + 2 × строка 2 ). Получим: 1 0 0 0 | -2 0 1 0 0 | -1 0 0 1 0 | 1 0 0 0 1 | 2 В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение: х1 = -2 х2 = -1 х3 = 1 х4 = 2
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (185)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |