Математические основы теории катастроф
Математическая сторона теории весьма непроста. Но можно ведь и о самых сложных вещах рассуждать просто, как говорится, объясняясь на пальцах. Сам Эйнштейн, кстати, владел таким способом изложения своих мыслей достаточно хорошо [3.C.88]. Прикладная математика, физика, химия, а так же технические дисциплины часто являются результатом применения новых математических идей и методов. Поэтому и прикладная математическая теория — теория катастроф — в сочетании с современными методами системного анализа является полезным и эффективным средством анализа различных реальных процессов [1.C.8]. Рассматривать в фазовом пространстве положения равновесия, предельные циклы и перестройки системы в целом (её инвариативных множеств и аттракторов) можно осуществлять с помощью дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых, обычно, неизвестны. Поэтому уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым и его решение может качественно измениться при сколь угодно малом изменении этих параметров [5.C.9]. Следовательно, при составлении дифференциальных уравнений, описывающих физические системы, необходимо учитывать, какие изменения параметров вызывают изменения системы. Однако математические модельные системы могут оказаться громоздкими из-за большого количества входящих в них переменных, поэтому при изучении таких систем часть переменных, мало изменяющихся в ходе процесса, полагают постоянными. В результате получается система с меньшим количеством переменных, которая и исследуется. Но учесть влияние отброшенных членов в исходной модели, рассматриваемой «индивидуально», обычно невозможно. В этом случае отброшенные члены можно рассматривать как возмущения. Предметом теории катастроф является изучаемые зависимости качественной природы решений уравнений от значений параметров, присутствующих в заданных уравнениях [4.C.8]. Рассмотрим решения Ф1(t , x ; ca ), Ф2( t , x ; ca ), … системы n уравнений, определённой в пространстве RN с координатами x =( x 1 , x 2, ..., xN ), Fi (Ф i ; са; t ; d Ф i / dt ; d 2 Ф i / dt 2 ,………; xl ; d Ф i / dxl , d 2 Ф i / dxl dxm ,……)=0 (1) 1< i < n, 1< l , m < N, 1 < a < k, переменные xi и t можно считать соответственно пространственными и временными координатами. Решения Фi описывают состояние некоторой системы, поэтому их называют переменными состояния. Уравнения Fi=0 зависят от k параметров са (числа Рейнольдса, структурной константы, напряженности магнитного поля и так далее), т. е. они могут качественно влиять на свойства решений Фi, поэтому параметры са являются управляющими параметрами. Не только исследование решений системы уравнений (1), но и выявление зависимости решений этой системы от управляющих параметров са, является сложной задачей [5.C.9]. Чтобы ее упростить, надо сделать ряд последовательных предложений: 1. Пусть система уравнений (1) не содержит пространственных производных любого порядка, т. е. Fi (Ф i ; са; t ; d Ф i / dt ; d 2 Ф i / dt 2 ,…; xl ; ----; ----)=0. (2) 2. Так как решение системы (2) достаточно сложно, то пусть она не зависит от всех пространственных координат х l. Fi (Ф i ; са; t ; d Ф i / dt ; d 2 Ф i / dt 2 ,………; --- ;--- ; ---)=0 . (3) 3. Пусть в решении системы (3) существуют производные по времени не выше первого порядка и сами производные в функции Fi имеют вид: Fi = d Ф i / dt – fi (Ф i ; са; t ). (4) Система уравнений типа Fi = 0 определяет динамическую систему [5.C.11]. 4. Для упрощения динамической системы пусть функция fi не зависит от времени. Тогда получится автономная динамическая система уравнений Fi = d Ф i / dt – fi (Ф i ; са; -)= 0. (5) Автономные динамические системы, зависящие от малого числа управляющих параметров ( k <4), являются более доступными для рассмотрения [5.C.12]. 5. Функция fi схожа с силой в классической механике для консервативных сил. Тогда fi будет антиградиентом к некоторой потенциальной функции: fi = - dU (Ф i ; са) / d Ф i , Fi = d Ф i / dt + - dU (Ф i ; са) / d Ф i = 0. (6) система Fi вида (6) называется градиентной системой [5.C.12]. Состояние равновесия градиентных динамических систем определяется системой уравнений d Ф i / dt = 0, следовательно dU (Ф i ;са)/ d Ф i=0. (7) Для уравнений (7) возможны следующие случаи: a) уравнения (7) могут не иметь решения если U (Ф i )= Ф, так как dU (Ф;са)/ d Ф= d Ф / d Ф=1, но 1 b) уравнения (7) могут иметь одно решение если U (Ф i )= Ф2 , так как dU (Ф;са)/ d Ф= d Ф2 / d Ф=2Ф=0 à Ф=0; c) уравнения (7) могут иметь более чем одно решение если U (Ф i ;с)= Ф4+ c Ф2, c < 0 , так как dU (Ф;са)/ d Ф= d (Ф4+ c Ф2) / d Ф=4Ф3+2сФ=0 à три решения. Следовательно, теория катастроф рассматривает состояние равновесия Ф i (са) потенциальной функции U (Ф i ;са), изменяющийся при изменении управляющих параметров са . Переменные состояния, от которых зависит функция U (Ф i ; са) по существу являются обобщенными координатами рассматриваемой системы [5.C.13]. Обобщенная сила, действующая на систему, поведение которой описывается потенциальной функцией, равна антиградиенту этой функции. Если в рассматриваемой точке пространства состояний градиент потенциальной функции отличен от нуля, то сила, действующая в этой точке, также отлична от нуля (в этом случае в некоторой окрестности заданной точки можно выбрать новую систему координат, такую, что сила в этих новых координатах будет иметь единственную отличную от нуля компоненту F = - gradU U(x) grad U(x0)
x0 Рис.5. Преобразование функции Uв линейную функцию U ->a+(y-y0)b помощью гладкой замены координат в точке х0, в которой градиент не равен нулю. Для того чтобы сделать все эти рассуждения математически строгими, необходимо использовать теорему о неявной функции, согласно которой возможна гладкая (т. е. имеющая производные любого порядка) замена координат: у1=у1(х1,х2,…,х n ), y 2 =у2(х1,х2,…,х n ), …………………… yn =у n (х1,х2,…,х n ), в результате которой в новой системе координат имеем U = y (+const). (8) При исследовании локальных свойств потенциальной функции в формуле (8) const можно не учитывать. (От нее можно также избавиться при помощи соответствующего сдвига начала системы координат.) [5.C.14]. Если рассматриваемая физическая система находится в состоянии равновесия (устойчивого или неустойчивого), то gradU =0 (но это условие противоречит условию применения теоремы о неявной функции). При этом тип равновесия определяется собственными значениями матрицы устойчивости, или гессиана, Uij = d 2 U / dxi дх j. Однако, если detUi, V= hi yi 2 (9) Где hi- собственные значения матрицы устойчивости Vij , вычисленные для состояния равновесия. С учетом новой замены координат в соответствии с yi ’ = hi 1 / 2 yi квадратичная форма (9) может быть приведена к морсовской канонической форме V =- y ’ i 2 -…- y ’ i +1 2 +…+ y ’ n 2 = Min ( y ’). (10) Функция Min ( y ’) получила название Морсовское i -седло[5.C.15]. Рис.6. Морсовское седло, имеющее локальный минимум в точке О (0,0,0) Точки, в которых gradU =0, являются точками равновесия, или критическими точками, гладкой функции U ( x 1 , х2, ..., хп). Критические точки, в которых detVij =0, называют изолированными, невырожденными или морсовскими критическими точками [5.C.16]. Критические точки функции U ( x 1 , x 2 ,…,х n ), в которых detUij Если потенциальная функция зависит от одного или более управляющих параметров С1, С2, ..., то матрица устойчивости Uij и ее собственные значения также зависят от этих параметров. В этом случае вполне возможно, что при некоторых значениях управляющих параметров одно (или несколько) собственное значение матрицы устойчивости может (могут) обратиться в нуль [4.C.163]. Если это так, то detUij = 0 и, следовательно, условия, необходимые для применимости леммы Морса (gradU =0, detUi j Однако можно найти каноническую форму потенциальной функции в неморсовской критической точке, если l собственных значений h 1 ( c ),…, hn ( c ) обращаются в нуль в hi точке с=с0. тогда потенциальную функцию можно расщепить на морсовскую и неморсовскую составляющие: U(x,c)= hi y1(x))2+ fNM (y1(x;c),…,yl (x;c); c)+ y1(x))2 (11) Так как теорема Тома гарантирует существование гладкой замены переменных (при k < 5 нет ограничений на семейство потенциальных функций U ( x 1 ,.. xn ; c 1 ,.. ck )), то потенциальную функцию можно записать следующим образом: fNM (y1(x;c),…,yl (x;c); c) = CG(l) ( 12) hi y1(x))2= Pert(l, k) где функцию CG ( l ) называют ростком катастрофы; функцию Pert ( l , k ) называют возмущением [5.C.19]. Функция катастрофы Са t ( l , k )= CG ( l )+ Pert ( l , k ), представляет собой функцию l переменных (состояний) и k (управляющих) параметров. Функция катастроф Са t ( l , k ) сводится к ростку катастрофы только тогда, когда в пространстве Rk управляющие параметры принимают значения а1,..а k , c 1 ,… ck.. Все функции катастроф Са t ( l , k ) сканоническим ростком катастроф CG ( l ), где k < 5 перечислены в таблице 1. (c.18).
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (448)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |