Примеры алгебраических групп матриц
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
Исполнитель: студентка группы H.01.01.01 М-42 Мариненко В.В.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Скиба С.В.
Гомель 2003 Содержание
Введение 1. Алгебраические группы матриц 1.1 Примеры алгебраических групп матриц 1.2 О полугруппах 1.3 Компоненты алгебраической группы 1.4 О -группах 2 Ранг матрицы 2.1 Возвращение к уравнениям 2.2 Ранг матрицы 2.3 Критерий совместности 3 Линейные отображения. Действия с матрицами 3.1 Матрицы и отображения 3.2 Произведение матриц 3.3 Квадратные матрицы Заключение Список использованных источников
Множество матриц -ой степени над будем рассматривать как аффинное пространство с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из , являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы - общая линейная группа . В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп. Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в , диез - замыкание в , бемоль - взятие невырожденной части, т. е. - совокупность всех невырожденных матриц из . Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, - например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений. 1. Алгебраические группы матриц Примеры алгебраических групп матриц
Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная:
где - единичная матрица и штрих обозначает транспонирование. Диагональная группа , группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа (для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа (треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида. Централизатор произвольного множества из в алгебраической группе , нормализатор замкнутого множества из в . Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц из --- алгебраическая группа. Она обозначается и называется алгебраической группой, порожденной множеством . Каждую алгебраическую линейную группу из можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из в силу формулы
Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа. Множество всех матриц из , оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму на . Пусть --- алгебра над конечной размерности (безразлично, ассоциативная или нет), --- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в какую-нибудь базу и сопоставляя автоморфизмам алгебры их матрицы в этой базе, мы получим на строение алгебраической группы. Действительно, пусть
т. е. --- структурные константы алгебры . Пусть далее
где . Тогда задается в матричных координатах очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений
Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть. В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп. 1.1.1 Если матричная группа содержит алгебраическую подгруппу конечного индекса, то сама алгебраическая. Доказательство. Пусть - аннулятор группы в , - его корень в . Надо показать, что . Пусть, напротив, . Пусть - смежные классы по . Для каждого выберем многочлен
и положим
Очевидно, , . Получили противоречие. Пусть --- алгебраическая группа, , --- подмножество и замкнутое подмножество из . Тогда множества
где , замкнуты. Если тоже замкнуто и --- общее поле квазиопределения для , , , то , , квазиопределены над . В частности, если существует хотя бы одно с условием (соответственно, , ), то можно считать, что (см. 7.1.5). Если на множестве выполняется теоретико-групповое тождество , то оно выполняется и на его замыкании . В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.
О полугруппах
Определим действие элементов из на рациональные функции из , , полагая
Для каждого отображение (сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля . Отображение есть изоморфизм полной линейной группы в группу автоморфизмов расширения . Имеет место следующее предложение. 1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из являются группами. Более общно: замыкание произвольной полугруппы --- группа. Более точно: если --- аннулятор в , то совпадает с
Здесь вместо можно написать . Доказательство. Во-первых, и, значит, . Действительно, если , и , то , т. е. . Подпространство многочленов из степени отображается оператором на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё отображается на себя, как объединение всех . Во-вторых, , т. е. для каждого . Действительно, пусть . По уже доказанному, . Найдём с условием . Тогда . В-третьих, , т. е. для всех , . Действительно, . Предложение доказано. Таким образом, теория алгебраических полугрупп из исчерпывается теорией алгебраических групп. Отметим ещё одно полезное предложение. 1.2.2 Пусть алгебраическая группа неприводима, т. е. --- многообразие, --- густое подмножество, плотное в . Тогда каждый элемент является произведением двух элементов из ; в частности, если --- подгруппа, то она совпадает с . Доказательство. Множества и тоже густые и плотные, поэтому пересечение непусто (см. п. 8.2). Если --- полугруппа из , то .
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (406)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |