Умножение матрицы на число
Каждый элемент матрицы умножается на это число. Пример: , 0,5 . Сложение матриц !!! Можно складывать матрицы только одинаковых размеров. Матрицы складываются поэлементно. Пример: .
Вычитание матриц !!! Можно вычитать матрицы только одинаковых размеров. Матрицы вычитаются поэлементно. Пример: .
Умножение матриц !!! Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением матрицы называется такая матрица , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Возведение в степень Целой положительной степенью А m ( m >1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц равных А, т.е. . Пример: , найти А2.
Транспонирование матрицы Транспонированная матрица – матрица, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Обозначается . Пример: . Обратная матрица Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е. . !!! Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (т.е. определитель матрицы отличен от нуля). Алгоритм вычисления обратной матрицы: 1. Находим определитель матрицы, т.е. . 2. Находим транспонированную матрицу , т.е. . 3. Находим присоединенную матрицу, т.е (матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы). 4. Вычисляем обратную матрицу по формуле . 5. Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы. Ранг матрицы Определение: Ранг матрицы – это наивысший порядок, отличных от 0, миноров матрицы. !!! Чтобы найти ранг матрицы нужно сначала привести матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду (все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0). Элементарными называются следующие преобразования матриц: 1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля; 2) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число; 3) перемена местами строк (столбцов) матрицы; 4) отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ На практике часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей. Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.
Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными x и y , т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x , исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y = f ( x ) – эмпирическая формула. Задача нахождения эмпирической формулы разбивается на два этапа: - устанавливается вид зависимости y = f ( x ), т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой (в нашей задаче зависимость линейная - y = ax + b ); - определение неизвестных параметров этой функции по методу наименьших квадратов, согласно которому, в качестве неизвестных параметров функции f ( x ) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений «теоретических» значений f ( xi ), найденных по эмпирической формуле y = f ( x ), от соответствующихопытных значений была минимальной, т.е. (в нашей задаче ). В результате решения такой экстремальной задачи с помощью частных производных: , получаем систему нормальных уравнений, из которой находим параметры a и b линейной зависимости: . НЕОБХОДИМЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ Определение: Функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка F ¢ ( x )= f ( x ). Определение: Совокупность всех первообразных для функции f ( x ) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f ( x ) и обозначается , т.е. . Формула Ньютона-Лейбница (для вычисления определенных интегралов):
Формула для вычисления дифференциала функции y = f ( x ): dy = f ¢ ( x ) dx . Некоторые свойства неопределенного и определенного интегралов: Н.и. , где с – некоторое число, О.и. , где с – некоторое число; Н.и. , О.и. .
!!! Неопределенный интеграл находится приведением интеграла к табличному (сумме табличных) с помощью этих двух свойств или с помощью таких приемов, как методы интегрирования заменой переменных и по частям. Формула замены переменной в неопределенном интеграле: , где - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Формула замены переменной в определенном интеграле: , где - функция имеет непрерывную производную на отрезке [ a , b ]. Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле: , где u = u ( x ), v = v ( x ) – дифференцируемые функции переменной х. При этом Постоянную С в выражении для v в формуле интегрирования по частям полагают равной 0. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле: , где u = u ( x ), v = v ( x ) – функции, имеющие непрерывные производные на отрезке [ a , b ]. Табличные интегралы ; ; ; ; ; ; ; ; ; . ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определение. Пусть дана квадратная матрица второго порядка . Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое по правилу: . Определение. Пусть дана квадратная матрица третьего порядка . Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называют число, получаемое по правилу:
. Для того, чтобы запомнить, какие произведения в правой части соотношения следует брать со знаком “+”, какие – со знаком “–”, полезно следующее графическое правило, называемое правилом треугольников:
– со знаком “+”; – со знаком “–”.
ПРЕДЕЛЫ
Основные понятия и определения Определение: Функция называется бесконечно малой величиной (БМВ) при или при , если ее предел равен нулю: . Свойства бесконечно малых величин: - алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая; - произведение БМВ на ограниченную функцию есть БМВ; - частное от деления БМВ на функцию, предел которой отличен от 0, есть БМВ. Определение: Функция называется бесконечно большой величиной (ББВ) при или при , если ее предел равен бесконечности. !!! Если - БМВ при или при , то функция является ББВ при или при . Верно и обратное утверждение. Свойства бесконечно больших величин: - сумма ББВ и ограниченной функции, есть ББВ; - произведение ББВ на функцию, предел которой отличен от 0 есть ББВ; - частное от деления ББВ на функцию, имеющую предел, есть ББВ.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (205)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |