Модели неевклидовой геометрии
Доказать непротиворечивость новой геометрии ни Лобачевский, ни Бойяи не сумели — тогда математика ещё не располагала необходимыми для этого средствами. Только спустя 40 лет появились модель Клейна (1871) и модель Пуанкаре (1882), реализующие аксиоматику геометрии Лобачевского на базе евклидовой геометрии. Эти модели убедительно доказывают, что отрицание V постулата не противоречит остальным аксиомам геометрии; отсюда вытекает, что V постулат независим от остальных аксиом и доказать его невозможно. 8. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА, ПАРАМЕТРЫ. Множество — одно из первоначальных понятий в математике, не подлежащих определению. Как правило, множества задаются определенным свойством. Всякий предмет (объект) принадлежит множеству тогда и только тогда, когда он обладает данным свойством. Применение в математике Предметы (объекты), которые составляют множество, называют его элементами. Для обозначения множества обычно используют большие буквы (A, B, X), при этом запись A = {a, b, c, …} означает, что множество A состоит из элементов a, b, c, …. Чтобы записать утверждение «элемент a принадлежит множеству A», используют обозначение a A. Аналогично, утверждение «элемент a не принадлежит множеству A» записывается как a ∉ A. Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. В противном случае множество называется бесконечным. Существует также пустое множество, которое вообще не содержит элементов, оно обозначается символом ∅. Множество A называется подмножеством B, если выполнено условие:
Понятие равенства множеств Множества А и В равны (A = B), если одновременно выполнены два утверждения: Наиболее часто встречающиеся множества имеют стандартные обозначения в математике: § N — множество всех натуральных чисел § Z — множество всех целых чисел § Q — множество всех рациональных чисел § R — множество всех действительных чисел § C — множество всех комплексных чисел 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ И ПУСТОГО МНОЖЕСТВА. Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств и логики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Определения · Множество A является подмножеством множества B, если любой элемент, принадлежащий A, также принадлежит B. Пишут: · Множество B в таком случае называется надмно́жеством множества A, и этот факт часто записывают: Множество A называется подмножеством множества B, если все элементы A являются также элементами B. Любое множество является своим подмножеством: Множество всех подмножеств множества A обозначается Примеры: · Подмножествами множества {0,1,2,3,4,5} являются множества · Подмножествами множества · Пусть A = {a,b}, тогда [править] Собственное подмножество Из определения прямо следует, что пустое множество обязано быть подмножеством любого множества. Также, очевидно, любое множество является своим подмножеством:
Если [править] Свойства Отношение подмножества обладает целым рядом свойств.[1] · Отношение подмножества рефлексивно: · Отношение подмножества антисимметрично: · Отношение подмножества транзитивно: · Пустое множество является подмножеством любого другого: · Таким образом отношение подмножества является отношением частичного порядка на булеане 2M — семействе всех подмножеств любого объемлющего множества M. · Для любых двух множеств A и B следующие утверждения эквивалентны: · · · · 10. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (189)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |