III Проекция ускорения на естественные оси.
Естественными осями при изучении криволинейного движения на плоскости принято считать касательную и нормаль к траектории. Тангенциальная и нормальная компоненты векторов часто позволяют полнее раскрыть физический смысл рассматриваемого движения. Вводимые ниже понятия напоминают те, которыми мы пользовались в полярной системе координат, но они не зависят от выбора системы отсчёта. Задача 11. Движение точки в плоскости описывается в декартовых координатах как x=x(t), y=y(t). Определить проекции скорости и ускорения на естественные оси, а также радиус кривизны траектории.
Направим координатные оси τ и n вдоль касательной и нормали к траектории, как показано на Рис. 7. Обозначим eτ и en единичные векторы вдоль соответствующих осей. Вектор eτ направлен вдоль скорости: . Формула позволяет получить удобное выражение для тангенциального ускорения. Продифференцировав её по времени, получим . Так как длина вектора не меняется, то направлен ортогонально к . Отсюда . ( 19 ) Вектор нормали en ищем в виде , где подлежащие определению проекции a и b удовлетворяют условиям нормировки и ортогональности: . Из двух решений этой системы уравнений мы выбираем такое, при котором вектор нормали направлен в сторону вогнутости траектории, как на Рис. 7: . Проекция ускорения на касательную wτ равна скалярному произведению . ( 20 ) Аналогично вычисляем wn: . ( 21 ) Перейдём к вычислению радиуса кривизны ρ траектории в данной точке. Он задаётся условием
, где ds — смещение вдоль траектории, соответствующее изменению угла dφ. Обе эти величины на Рис. 8 считаем бесконечно малыми. Следовательно, можно пренебречь изменением абсолютной величины скорости на отрезке ds и воспользоваться известной формулой для центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности: . Подставляя сюда ( 21 ), приходим к . Радиус кривизны бесконечно велик в случае прямолинейной траектории.
Задача 12. Точка описывает эллипс . Определить нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, а также радиус кривизны траектории в точках A и B Рис. 9. Рассматриваемое движение является частным случаем Задача 1. Подставив ( 5 ) в ( 20 ), приходим к . Аналогичным путём получаем формулы для нормального ускорения и для радиуса кривизны . Подставляя в них зависимость x и y от времени, получаем для точки A: и для точки B: . Задача 13. Частица движется в плоскости по траектории r=acosφ. В начальный момент времени φ=0, а скорость направлена перпендикулярно радиус‑вектору. Секторная скорость постоянна и равна K/2. Определить связь между модулями v и r , а также компоненты ускорения: тангенциальную, нормальную, радиальную и трансверсальную. При постоянном K величина v однозначно выражается уравнением траектории: . Здесь мы воспользовались обозначениями Задача 6 и формулой ( 15 ). Подставляя , приходим к следующему выражению для v2: , откуда .
В интервале углов траектория представляет собой окружность радиусом a/2 с центром в точке x=a/2, y=0. На Рис. 10 показаны все четыре компоненты вектора ускорения.. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории. Воспользуемся формулой ( 19 ) Задача 11: . При известных значениях скорости и радиуса кривизны нормальное ускорение рассчитываем по формуле . Трансверсальное ускорение равно нулю. Вычисление радиальной компоненты можно упростить следующим образом. Нам известны компоненты вектора в разложении по и . Из Рис. 10 видно, что они равны cosφ и sinφ соответственно. Компонента wξ равна скалярному произведению векторов w и eξ: .Подставляя сюда полученные выше выражения для wn и wτ , получаем .Тело движется под действием притягивающей силы, величина которой обратно пропорциональна r5. [1] Знаки a и b определяют квадрант, в котором находится гипербола.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (356)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |