Базис на плоскости и в пространстве
Векторная алгебра
Вектор в декартовой системе координат
Определение. Вектором называется упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Если Вектор
Линейные операции с векторами
Сложение векторов определяется по правилу параллелограмма: вектор Разность двух векторов При сложении нескольких векторов каждая координата суммы есть сумма соответствующих координат слагаемых векторов, при умножении вектора на данное число а) б) Несколько векторов называются коллинеарными (компланарными), если они параллельны одной и той же прямой (плоскости). Векторы
Базис на плоскости и в пространстве
Определение. Базисом на плоскости (в пространстве) называется упорядоченная пара (тройка) неколлинеарных (некомпланарных) векторов. Любой вектор однозначным образом раскладывается по базису. Коэффициенты разложения называются координатами этого вектора относительно данного базиса. Векторы Пример 1. Даны векторы Решение. Если два вектора неколлинеарны (
Решив полученную систему уравнений каким-либо образом, получим, что Значит Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов
где Зная скалярное произведение, можно определить угол между двумя векторами по формуле: Условие перпендикулярности ненулевых векторов (угол между ними равен 90°) имеет вид: Свойства скалярного произведения: 1) Пример 2. Найти угол между векторами Решение. Используем формулу Найдем скалярное произведение векторов Определение. Векторным произведением вектора а) имеет длину б) перпендикулярен векторам в) направлен так, что векторы Координаты векторного произведения вектора
![]()
Геометрический смысл векторного произведения: модуль вектора Свойства векторного произведения: 1) 3)
Пример 3. Параллелограмм построен на векторах ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Решение.
Угол между диагоналями обозначим буквой Следовательно, Используя свойства векторного произведения, вычислим площадь параллелограмма: Определение. Смешанным произведением трех векторов
Если
Свойства смешанного произведения: 1) При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак; 2) 4)
Геометрический смысл смешанного произведения: объем Пример 4. Компланарны ли векторы Решение. Если векторы компланарны, то по свойству 4) их смешанное произведение равно нулю. Проверим это. Найдем смешанное произведение данных векторов, вычислив определитель:
Деление отрезка в данном отношении. Пусть отрезок
Пример 5. Найти точку Решение. Определим координаты точки
Аналитическая геометрия. Уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости имеет вид: Уравнение плоскости, проходящей через точку
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
Угол
Расстояние от точки Пример 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки. Вычислим определитель
Уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: Уравнение прямой, проходящей через данную точку
В другом виде Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Угол
Расстояние от точки
Пример 7. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.
Решение. Сделаем схематический чертеж (Рис.6). Перепишем данные уравнения в виде:
Неизвестные стороны параллельны между собой и перпендикулярны данным (так как это прямоугольник). Замечание. Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых Таким образом, уравнения неизвестных сторон прямоугольника таковы:
Найдем координаты точек
Уравнение диагонали
Уравнения прямой в пространстве. Прямая в пространстве Oxyz определяется как линия пересечения двух плоскостей Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид
где Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки
Угол
Пример 8. Пирамида задана координатами своих вершин 1) длины ребер 6) уравнение высоты 7) расстояние от вершины Решение.1) Длины ребер
2) Найдем координаты векторов Длины этих векторов, т.е. длины ребер
3) Площадь грани
Тогда, 4) Объем пирамиды равен
5) Уравнения прямых ( ( 6) Направляющим вектором высоты
7) Для вычисления расстояния от вершины 8) Угол
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (237)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |