Изоморфизм полуполевых плоскостей
На следующем этапе работы было необходимо разбить множество построенных плоскостей на классы плоскостей, изоморфных между собой. Для этой цели была применена теорема, доказанная в [3]. Теорема 2.2. Пусть π – спрэд V, π' – спрэд V'. Если σ – изоморфизм плоскости трансляций π(V) на плоскость трансляций π'(V') такой, что 0σ =0, тогда σ – биективное полулинейное отображение векторного пространства V на векторное пространство V' .
Или другими словами, плоскость π изоморфна плоскости π΄
Здесь σ – автоморфизм поля GF(4), А – невырожденная матрица, (x, xθ)
Установление изоморфизма заключается в определении зависимости между матрицами регулярных множеств (а точнее, между функциями, определяющими вид матриц). Возможны случаи: I) А=Е, σ – возведение в квадрат; II) А III) А Так как мы рассматриваем полный список плоскостей, то достаточно установить наличие изоморфизмов типа I и II. Рассмотрим случай I. Пусть Известно:
Зная, что х=
Таким образом, мы получили, что
Рассмотрев первую плоскость, мы найдем изоморфную ей:
Дальнейшие вычисления показывают, что: (3
Итак, построив отображение типа I (А=Е, σ:
Рассмотрим случай II. Для любой матрицы
здесь А i – матрицы размерности 2 Рассмотрим изоморфные полуполевые плоскости.
[0]
(0,0)
Рис. 3
Все точки, находящиеся на прямой [0] первой плоскости, имеют вид (0,у). Под действием изоморфного отображения они должны перейти в точки, лежащие на прямой [0] второй плоскости (так как точка (0,0) фиксируется и точка (∞)– трансляционная) (рис. 3). Следовательно,
Таким образом, мы имеем:
Из последнего равенства получим:
Для θ = 0 имеем:
Следовательно,
Т.к. регулярное множество замкнуто по сложению, то можно сделать замену:
Таким образом, мы получаем: Для θ = Е имеем
Для Рассмотрим подробнее получившуюся матрицу А:
Заметим, что S – изоморфизм
это преобразование – элация с осью [0] и центром (∞). Можно сделать вывод, что достаточно рассматривать изоморфизмы вида
где А4– любая невырожденная матрица с элементами из GF(4), Тогда
Таким образом, для любой
Этот результат уточняет теорему, приведенную в [2].
Теорема 2.3.Плоскости трансляций Г' и Г изоморфны тогда и только тогда, когда R' сопряжено в GL(V) с одним из следующих множеств: 1) 2) 3) 4) В этой теореме выражение вида Наш результат справедлив для линейных изоморфизмов полуполевых плоскостей.
Теорема 2.4. Если φ – линейный изоморфизм полуполевых плоскостей, то он может быть задан матрицей вида Следует заметить, что в случае поля четного порядкадостаточно рассматривать матрицу
Пусть матрица имеет вид: A= Тогда матрицу А можно записать в таком виде: A=
(т.к. в поле четного порядка квадратный корень из любого элемента извлекается однозначно, то мы имеем право сокращать).
Была написана программа на языке С++, рассчитывающая данный случай. В итоге мы получили 2 класса неизоморфных полуполевых плоскостей порядка 16: I) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56} II) {17, 18, 31, 32, 45, 46} или всего 2 плоскости: №1 и №17, и 17-я плоскость является дезарговой.Обозначим эти плоскости
Для плоскостей номер 1 и 17 матрицы имеют вид:
Лемма 2.5. Для дезарговой плоскости (плоскость №17) регулярное множество является полем. Доказательство леммы 2.5. Функции матрицы регулярного множества для плоскости №17 имеют вид:
Проверим необходимые аксиомы: 1) Замкнутость по умножению:
Замкнутость выполняется.
2) Коммутативность умножения:
Коммутативность выполняется.
3) Ассоциативность умножения:
Преобразуем левую часть равенства:
Преобразуем правую часть равенства:
Ассоциативность выполняется. 4) Наличие обратного элемента:
Лемма 2.5 доказана.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (202)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |