Лабораторная работа 3.
RLC - КОНТУР Цель работы: изучение электромагнитных колебаний в последовательном RLC - контуре; исследование затухающих колебаний; снятие резонансных кривых; определение добротности полосы пропускания, резонансной частоты и декремента затухания; сравнение теоретических и экспериментальных кривых. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Рис.4.1
Конденсатор C, катушка индуктивности L и активное сопротивление R, соединенные последовательно, образуют колебательный RLC - контур. Электрические колебания в контуре возбуждаются в результате периодического обмена между энергией электрического поля конденсатора и энергией магнитного поля катушки индуктивности , где q и C - заряд и емкость конденсатора, - ток в контуре, L - индуктивность катушки. В результате протекания тока в контуре на активном сопротивлении R выделяется тепловая энергия, приводящая к потере энергии электрических колебаний. Заряд, сосредоточенный на обкладках конденсатора в начальный момент времени t0=0, уменьшается с течением времени и создает ток в контуре, изменяющийся во времени. Величину тока, протекающего в цепи при разряде, можно определить из закона Ома для неоднородного участка контура:
(4.1)
Сила тока равна скорости изменения заряда, так что (4.1) эквивалентно дифференциальному уравнению второго порядка
, (4.2)
где введены обозначения: , Решение уравнения (4.2) представим в виде линейной комбинации
, (4.3)
l1, l2 - корни характеристического уравнения . Из приведенной зависимости следует, что при выполнении неравенства , заряд быстро затухает во времени и колебания в контуре отсутствуют. Такой процесс называется апериодическим. Колебания в контуре существуют только при выполнении условия . Применяя формулу Эйлера для комплексных величин, заменим выражение (4.3) на сумму гармонических функций:
(4.4)
где , - собственная частота затухающих колебаний в контуре. Заряд q принимает только вещественное значение, так что величины A и B могут быть только сопряженными комплексными числами. Результирующую зависимость заряда от времени t можно определить в виде:
, (4.5)
где q0 и j - произвольные постоянные, имеющие смысл амплитуды колебаний в момент времени t=0, j - начальная фаза. Отношение характеризует быстроту уменьшения амплитуды колебаний и называется коэффициентом затухания. При b=0 уравнение (4.2) описывает незатухающие колебания в контуре, причем определяет частоту собственных колебаний. Графики зависимости заряда от времени при различных значениях коэффициента затухания, представлены на рис.4.2
а) , б) , в)
Рис.4.2
В соответствии с видом функции (4.5), изменение заряда во времени можно рассматривать как гармоническое колебание частоты w1 с амплитудой, изменяющейся по закону . Отношение амплитуд в моменты времени, отличающиеся друг от друга на величину периода T, называется декрементом затухания, а его логарифм - логарифмическим декрементом затухания и обозначается символом l:
(4.6)
Логарифмический декремент затухания характеризует колебательную систему и имеет определенный физический смысл. За время t, в течение которого амплитуды a ( t) уменьшается в e раз, система совершает колебаний. Из условия следует, что , так что логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз. Для характеристики колебательной системы часто используют величину
, (4.7)
которую называют добротностью колебательной системы. Периодическая во времени внешняя э. д. с., включенная в последовательный контур, создает в нем вынужденные колебания. Суммируя напряжение с э.д.с. самоиндукции, получаем из (4.1) уравнение для определения заряда: (4.8)
Общее решение уравнения (4.8) равно сумме общего решения однородного уравнения при e0=0 и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения определяется формулой (4.5) и затухает с ростом времени. Частное решение уравнения (4.8) найдем методом комплексных амплитуд. В соответствии с данным методом, представим уравнение в виде реальной части комплексного уравнения
, (4.9)
решение которого имеет вид:
, (4.10) где .
Производная по времени от реальной части Y позволяет получить гармоническую зависимость тока в цепи от времени t:
, (4.11) где , , (4.12)
Из последних уравнений следует, что ток отстает по фазе от приложенной внешней э. д. с. на угол j, причем амплитуда тока достигает максимального значения при условии равенства частоты собственных колебаний в контуре w0 частоте внешней э. д. с. В этом случае ток колеблется в фазе с приложенной э. д. с. Указанное условие называется резонансом напряжений. Резонансные кривые зависимости амплитуды тока от частоты внешней э. д. с. представлены на рис.4.3а и характеризуются полосой пропускания контура при токе . Связь между добротностью Q и полосой пропускания D w устанавливается соотношением:
(4.13)
Из уравнения (4.13) и графиков зависимости амплитуды тока от частоты следует, что с ростом сопротивления контура (активного R) добротность колебательной системы уменьшается. Рис.4.3б иллюстрирует зависимость тангенса угла j от частоты.
а) б) Рис.4.3 Методика эксперимента
Рис.4.4
Экспериментальная установка содержит последовательный RLC - контур, изменение элементов которого осуществляется переключателями П1 и П2. Режим работы задается переключателем П3: в положении "ПЕР" - исследуются периодические затухающие и незатухающие колебания; в положении "АПЕР" - апериодический процесс. Подключение внешних источников э. д. с. - генератора синусоидальных колебаний Г1 и генератора импульсов Г2 осуществляется кабелями через разъемы, расположенные на передней панели блока. Возможно использование одного генератора с двумя каналами выхода синусоидальных и импульсных колебаний. В качестве регистрирующего прибора используется осциллограф, подключенный кабелем к разъему "ОСЦ" на передней панели блока. Градуировка вертикальной развертки осциллографа осуществляется с учетом активного сопротивления нагрузки на его входе , i=1,2,3. Калибровочное напряжение с соответствующего выхода осциллографа Uk или от внешнего генератора Г1 подается на вход и определяется масштаб вертикальной оси, равной отношению амплитуды сигнала к числу делений Uk/ Yk (В/дел). Пересчет этого масштаба в величину отношения тока i0 в цепи к числу делений y сигнала (А/дел) осуществляется по формуле: (4.14)
Калибровка горизонтальной оси времени осуществляется аналогичным образом: импульс определенной длительности t с выхода генератора Г2 подается на вход осциллографа, регулировкой длительности развертки находится стабильная картина, определяется длительность импульса в делениях масштабной сетки xk и по ней определяется масштаб горизонтальной развертки:
(4.15)
В отдельных моделях осциллографов соответствующие масштабы указаны на делителях вертикального и горизонтального отклонения, так что операции калибровки осей не производятся. Суммарное активное сопротивление контура зависит от положения переключателя П2:
(4.16)
Из формулы (4.12) следует, что при резонансе для двух значений активных сопротивлений контура выполняется закон Ома:
из которого получает формулу для расчета активного сопротивления индуктивности: , (4.17)
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (193)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |