Пример 6. Определить передаточную функцию объекта регулирования, модель которого задана дифференциальным уравнением
Введем в уравнение оператор Лапласа – s и вынесем yиu за скобки. Делим многочлен правой части дифференциального уравнения на многочлен левой части, получаем выражение передаточной функции .
Задания для самостоятельного выполнения Задание 1. Составить структурную схему по дифференциальному уравнению объекта и определить передаточную функцию (по примерам 5 и 6) Варианты заданий:
Задание 2
Преобразовать структурную схему и определить эквивалентную передаточную функцию. Варианты заданий приведены в таблице 1. (смотреть примеры 1-4) Таблица 1.1. Варианты заданий по теме «Структурные схемы»
Продолжение таблицы 1.1. Варианты заданий Продолжение таблицы 1.1. Варианты заданий Продолжение таблицы 1.1. Варианты заданий Задание 3. (без вариантов заданий, общее). Записать в общем виде главную передаточную функцию системы (рис. 1.47).
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА – теоретическая часть Общие сведения В ТАУ основным инженерным методом решения дифференциальных уравнений, т. е. исследования поведения систем во времени, является преобразование Лапласа. Его преимущество заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оно заменяет более простыми алгебраическими операциями умножения и деления. Рассмотрим принцип решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа. 1. На первом этапе производят прямое преобразование X ( s ) = L { x ( t )} – от функции времени переходят к функции комплексной переменной Лапласа s = σ + jω = α + jβ. Здесь ω = 2π f – это известная из электротехники круговая частота, рад/с. 2. Далее решают алгебраическое уравнение реакции, для чего находят собственные значения системы, т. е. корни характеристического уравнения D ( s ) = 0, и по теореме разложения определяют коэффициенты числителей простых дробей, на которые в соответствии с собственными значениями разлагается реакция. 3. В конце вычислений выполняют обратное преобразование Лапласа x ( t ) = L -1 { X ( s )} – от функции переменной s возвращаются к функции переменной t. Общее обозначение описанных операций x ( t )÷ X ( s ), где слева строчными буквами изображена функция времени (оригинал), справа, прописной буквой – функция комплексного переменного (изображение), а между ними стоит символ соответствия (ни в коем случае не равенства, что будет являться грубой ошибкой!). Таблица 2. Таблица соответствия оригиналов и изображений
Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные и их изображения: единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X ( s ) = , дельта-функция X ( s ) = 1, линейное воздействие X(s) = .
Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа. Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала, согласно таблице 2, имеет вид X(s) = . Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s): s2×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s×X(s) + 12×X(s), s2×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s + 12 , Y(s)×(s3 + 5s2 + 6s) = 2×s + 12. Определяется выражение для Y: . Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s ( s + 2)( s + 3): = = - + . Теперь, используя табличные функции (см. табл. 2), определяется оригинал выходной функции: y(t) = 2 - 4.e-2t + 2.e-3t. При решении ДУ с использованием преобразований Лапласа часто встает промежуточная задача разбиения дроби на сумму простых дробей. Существуют два пути решения этой задачи: - путем решения системы уравнений относительно коэффициентов числителей, - путем расчета коэффициентов числителей по известным формулам. Общий алгоритм разбиения дроби на сумму простых дробей: шаг 1 – определяются корни знаменателя si (знаменатель дроби приравнивается к нулю и решается полученное уравнение относительно s); шаг 2 – каждому корню ставится в соответствие простая дробь вида , где М i – неизвестный коэффициент; если имеет место кратный корень с кратностью n , то ему ставится в соответствие n дробей вида ; шаг 3 – определяются коэффициенты ki по одному из вариантов расчета. Продолжение метода:
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1910)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |