Теорема Менелая для треугольника.
Выпускная квалификационная работа Избранные теоремы геометрии тетраэдра
Специальность / направление подготовки Математика
Специализация / профиль Математика - информатика Содержание
Введение Глава I. Виды тетраэдров и теоремы о тетраэдрах 1.1 Теоремы о тетраэдрах §1. Теорема Менелая §2. Теорема Чевы §3. Свойства медиан и бимедиан тетраэдра 1.2 Различные виды тетраэдров. §1. Пифагоровы тетраэдры §2. Ортоцентрические тетраэдры §3. Каркасные тетраэдры §4. Равногранные тетраэдры §5. Инцентрические тетраэдры §6. Соразмерные тетраэдры §7. Правильные тетраэдры Глава II. Тетраэдр в курсе математики средней школы §1. Сравнительная характеристика изложения темы «тетраэдр» в школьных учебниках §2. Тестирование уровня развития пространственного мышления у учеников средней школы Введение
Интерес к изучению тетраэдра возник у человечества с древних времен и не угасает до сих пор. Это связано не только с его красотой, но и с большой практической ценностью. Тетраэдр является одним из основных фигур стереометрии, однако его изучение в курсе средней школы недостаточно подробно. В некоторых учебниках авторы избегают самой терминологии, предпочитая называть фигуру «треугольной пирамидой» (и рассматривают её именно в таком ключе), а об изучении различных видов тетраэдров зачастую и говорить не приходится. Роль задач о тетраэдрах в математическом развитии школьников трудно переоценить. Они стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, способствуют развитию пространственного мышления, что особенно важно в процессе изучения стереометрии. Изучению тетраэдра как школе, так и в вузах посвящено лишь небольшое количество занятий, поэтому целью дипломной работы является изучение различных видов тетраэдров, а также теорем, связанных с геометрией тетраэдра. В соответствии с целью сформулированы следующие задачи: 1. Собрать сведения о тетраэдре из различных источников и привести их в систему; разобрать доказательства теорем, связанных с тетраэдром; 2. Проанализировать методику изложения материала в различных школьных учебниках; 3. Разработать курс занятий о тетраэдре для средней школы. В первой главе моей дипломной работы речь пойдёт о различных видах тетраэдра и некоторых теоремах, касающихся этой фигуры. Вторая глава посвящена анализу учебного материала для средней школы по заданной теме и разработке курса занятий. Глава I . Виды тетраэдров и теоремы о тетраэдрах Теоремы о тетраэдрах Теорема Менелая Теорема Менелая для треугольника.
Пусть точки А1 и С1 лежат на сторонах В C и А C треугольника АВС, точка В1 на продолжении стороны АС этого треугольника. Для того чтобы точки А1, В1, С1 лежали на одной прямой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство = = =1. Доказательство. Сначала докажем необходимость. Пусть точки А1,В1,С1 лежат на прямой l и AA0=h1, CC0=h3 - перпендикуляры, опущенные соответственно из точек А, В, С на прямую l. Из подобия треугольников АА0С1 и ВВ0С1 получаем . Аналогично, рассматривая другие пары подобных треугольников, получаем ; . Перемножая полученные пропорции, приходим к требуемому равенству.
Теперь докажем достаточность. Пусть точки А1, В1, С1, лежащие на прямых ВС, АС, АВ таковы, что . Докажем, что точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой. Проведем прямую А1В1 и докажем, что точка С1 ей принадлежит. Предположим, что это не так. Сначала заметим, прямая А1В1 не параллельна прямой АВ. Пусть Т - точка пересечения А1В1 и АВ, тогда . Из условия и равенства (1) следует, что . Так как точки Т и С1 лежат вне отрезка АВ, их совпадение вытекает из следующей леммы. Лемма 1. Пусть А и В две различные точки, тогда для любого k>0, k≠1 на прямой АВ существуют две точки U и V такие, что , причем одна из этих точек принадлежит отрезку АВ, а другая лежит вне отрезка. Доказательство.
Введем на прямой АВ координаты, приняв точку А за начало координат. Пусть для определенности k>1, тогда координата искомой точки U, лежащей внутри отрезка АВ, удовлетворяет уравнению , откуда . Точка V находится вне отрезка AB, из уравнения , откуда . Случай 0<k<1 отличается от рассмотренного лишь тем, что точку V следует искать левее точки А. Теорема Менелая допускает интересное стереометрическое обобщение.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (455)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |