Формулы преобразования и матрицы преобразования.
Переход от одной аффинной системы координат к другой с тем же началом. Аффинная координатная система, или аффинный репер о пространстве, есть тройка некомпланарных векторов данных в определенном порядке и приложенных к точке О — началу репера. Тройка векторов называется иногда базисом репера или координатной системы. Если наряду с репером который будем условно называть «старым», дан «новый» репер с началом О' и базисом то возникает общая задача преобразования координат: по координатам произвольной точки М (произвольного вектора u) в одной из двух систем координат найти координаты той же Точки (того же вектора) в другой системе. Предположим, что оба репера имеют одно и то же начало О. Тогда новый репер вполне определен, если заданы векторы своими координатами (относительно старого базиса), т. е. если даны коэффициенты в равенствах (1) Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису а также матрицей перехода от первого репера ко второму. Так как векторы линейно независимы, то детерминант матрицы А* отличен от нуля — матрица перехода от одного базиса к другому есть всегда невырожденная матрица. Так как векторы образуют базис, то каждый из векторов в свою очередь однозначно представим как линейная комбинация векторов (1’) - уравнения (1) однозначно разрешимы относительно старых единичных векторов Посмотрим, как связаны между собой координаты x , у, г и х', у', г' произвольной точки М (произвольного вектора u = ОМ) в старой и новой координатных системах. Вектор и=ОМ записывается, во-первых, как линейная комбинация векторов с коэффициентами х, у, г и, во-вторых, как линейная комбинация векторов с коэффициентами х', у', г', так что имеем тождество Вносим в это тождество выражения из (1); получаем Но вектор u единственным образом представляется как линейная комбинация векторов , следовательно, коэффициенты при векторах в левой и правой частях последнего равенства должны быть одни и те же, т. е. (2) Эти формулы и выражают старые координаты х, у, г точки М (вектора u ) через новые. Матрица (3) дающая это выражение, называется матрицей преобразования координат; она является транспонированной по отношению к матрице А* перехода от базиса к базису . Обе матрицы имеют один и тот же отличный от нуля детерминант. 2. Переход от одной аффинной системы координат к другой с изменением начала координат. Общий случай перехода от репера к реперу сводится к комбинации двух случаев переноса начала и только что разобранного случая перехода от одного базиса к другому. В самом деле, рассмотрим наряду с двумя реперами и еще третий, «промежуточный», имеющий начало О' = ( x 0 , y 0 , z 0 ) и базис ; координаты точки относительно этого промежуточного репера обозначим через х", у", z ". Тогда х= x 0 + х", у= y 0 + у", z = z 0 + z ", где х", у", z " выражаются через х', у', z ' по формулам (2) (в которых, естественно, надо х, у, z (слева) соответственно заменить на х", у", z ". Получаем окончательно: в пространстве: (43) на плоскости (42) Это н есть общие формулы преобразования координат для двух произвольных аффинных координатных систем. Матрица коэффициентов в равенствах (43) соответственно (42) называется матрицей преобразования координат. Переход от одной прямоугольной системы координат к другой Случай прямоугольного репера на плоскости. Можно ограничиться реперами с общим началом. Базис прямоугольного репера состоит из двух взаимно перпендикулярных ортов. Такие базисы будем называть прямоугольными или ортонормальными. Лемма. Пусть и — два ортогональных репера на плоскости с общим началом О. Тогда поворотом репера в несущей его плоскости вокруг точки О на некоторый угол можно перевести репер либо в репер либо в репер (рис. 59 и 60). Другими словами: репер получается из репера либо поворотом, либо поворотом и последующим отражением (относительно прямой, несущей вектор ). Доказательство. Репер определяет некоторое положительное направление вращения плоскости, а именно то направление, в котором угол от ортаe1 до орта e2 равен (а не ). Обозначим через угол от орта e1 до орта е1’. Повернув репер (в его плоскости) в положительном направлении на угол , мы совместим орт e1 с ортом е1’; тогда орт e2, будучи перпендикулярен к орту e1, либо совместится с ортом (рис. 59), либо
совместится с противоположным ему ортом — (рис. 60). Утверждение доказано. Из доказанного следует, что относительно базиса e1 , e2 орт имеет координаты cos , sin : тогда как для имеем две возможности: либо т.е либо и тогда Матрица перехода от базиса к базису имеет вид: в первом случае (I) во втором (II) Базисы и называются в первом случае одноименными или одинаково ориентированными, а во втором — разноименными или противоположно ориентированными. Так как detC = l в случае одноименных, detC= -1 в случае разноименных базисов, то только что высказанное определение можно сформулировать и так: Определение. Два ортогональных базиса (репера) одно-именны, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительный детерминант, и разноименны, если этот детерминант отрицателен. Формулы преобразования координат даются матрицами, транспонированными к матрицам перехода от одного базиса к другому; это будут формулы: в случае однименных базисов, в случае разноименных базисов.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (643)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |