Идея сингулярного разложения матрицы данных
Если
Число σ³0 называется сингулярным числом матрицы
Пусть
где Хотя формально задачи сингулярного разложения матрицы данных и спектрального разложения ковариационной матрицы совпадают, алгоритмы вычисления сингулярного разложения напрямую, без вычисления спектра ковариационной матрицы, более эффективны и устойчивы. Это следует из того, что задача сингулярного разложения матрицы
Простой итерационный алгоритм сингулярного разложения Основная процедура — поиск наилучшего приближения произвольной m x n матрицы
Решение этой задачи дается последовательными итерациями по явным формулам. При фиксированном векторе
Аналогично, при фиксированном векторе
B качестве начального приближения вектора В результате для матрицы X=( К достоинствам этого алгоритма относится его исключительная простота и возможность почти без изменений перенести его на данные с пробелами, а также взвешенные данные. Существуют различные модификации базового алгоритма, улучшающие точность и устойчивость. Например, векторы главных компонент Для квадратных симметричных положительно определённых матриц описанный алгоритм превращается в метод прямых итераций для поиска собственных векторов. Линейный МНК Задача аппроксимации линейным МНК в матричной форме записывается, как
Иногда к задаче добавляются ограничения:
Здесь c обозначает искомый вектор коэффициентов. Столбцы матрицы F соответствуют базисным функциям (всего M столбцов), строки - экспериментальным точкам (всего N строк), Fij содержит значение j-ой базисной функции в i-ой точке набора данных. Вектор y содержит значения аппроксимируемой функции в точках, соответствующих строкам матрицы F. Матрица W является диагональной матрицей весовых коэффициентов, элементы которой соответствуют важности той или иной точки. Матрица C задает дополнительные ограничения, которым должна удовлетворять аппроксимируемая функция - минимум ошибки ищется среди функций, точно удовлетворяющих заданным ограничениям. В такой формулировке задача сводится к решению системы линейных уравнений. Полученная система линейных уравнений, как правило, является переопределенной - число уравнений намного больше числа неизвестных. Для решения используется основанный на QR-разложении солвер. Сначала матрица A представляется в виде произведения прямоугольной ортогональной матрицы Q и квадратной верхнетреугольной матрицы R. Затем решается система уравнений Rx = Q Tb. Если матрица R вырождена, алгоритм использует SVD-разложение, которое позволяет добиться решения независимо от свойств матрицы коэффициентов. Трудоемкость решения такой задачи составляет O(N·M 2). Модуль lsfit содержит четыре подпрограммы для линейной аппроксимации: LSFitLinear (простейшая задача - нет ограничений, W - единичная матрица), LSFitLinearW (взвешенная аппроксимация без ограничений), LSFitLinearC (аппроксимация с ограничениями, без весовых коэффициентов) и LSFitLinearWC (аппроксимация с индивидуальными весовыми коэффициентами и ограничениями).
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (314)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |