ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ В MATLAB
РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, ИСПОЛЬЗУЮЩИХ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ, В СРЕДЕ MATLAB
Курсовая работа
Выполнил: студент курса Научный руководитель: кандидат физико- математических наук, доцент
Благовещенск 2008
ВВЕДЕНИЕ.. 3 1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ В MATLAB.. 5 1.1 Численный метод. 9 1.2 Символьный метод. 11 2. MATLAB – СРЕДА МОДЕЛИРОВАНИЯ.. 15 3. РЕАЛИЗАЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЗАИМОРАСЧЁТОВ ПРЕДПРИЯТИЙ В СРЕДЕ MATLAB.. 16 ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 19 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ... 20 ПРИЛОЖЕНИЯ.. 21
ВВЕДЕНИЕ
Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этого метода состоит в замене реального объекта его «образом» - математической моделью. Этот метод позволяет быстро и «безболезненно» изменить объект, изучить его свойства и поведение в различных средах и т.д. Неудивительно, что математическое моделирование бурно развивается и проникает во все сферы знаний.
На первом этапе строится модель, наиболее полно отображающая свойства объекта. Модель исследуется теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте. Второй этап включает в себя разработку алгоритма, для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые необходимо провести для нахождения искомых величин с заданной точностью. На третьем этапе создаются программы, переводящие модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. К ним предъявляются требования экономичности и адаптивности к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров. Их можно назвать электронным эквивалентом изучаемого объекта, уже пригодным для непосредственного испытания на компьютере. Целью данной курсовой работы является изучение приёмов численного и символьного интегрирования на базе математического пакета прикладных программ, а также реализация математической модели, основанной на методе интегрирования. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ В MATLAB
Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции F и обозначается Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что δ=maxΔxi→0 (n→∞) и при любом выборе точек
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ:
Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], функция f неотрицательна, но определённый интеграл Рассмотрим основные методы интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона. Формула прямоугольников Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления: Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x0, x1, x2,…, xn=b на n равных частей длины Δх, где Δх=(b-a)/n.
Обозначим через y0, y1 ,y2,…, yn-1, yn значение функции f(x) в точках x0, x1, x2…, xn, то есть, если записать в наглядной формуле: Y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2)…yn,=f(xn). В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид. Составим суммы: y0Δx+ y1Δx1+ y2Δx2…+yn-1Δx; Y1Δx+ y2Δx+…+ynΔx. В результате вычислений получаем конечную формулу прямоугольников: Формула трапеций Возьмём определённый интеграл
Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi-1 и yi и высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) h это Δx,a Δx=(b-a)/n при делении отрезка на n равных отрезков при помощи точек x0=a<x1<…<xn=b. Прямые x=xk разбивают криволинейную трапецию на n полосок. Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций.
![]() Площадь крайней полоски слева равна произведению полусуммы основания на высоту Итак, запишем сказанное выше в математическом виде:
Формула Симпсона (формула парабол). Разделим отрезок [a;b] на чётное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1], [x1,x2] и ограниченной заданной кривой y=f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M0[x0,y0], M1[x1,y1], M2[x2,y2] и имеющей ось, параллельную оси Oy (рис). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией. Уравнение па
раболы с осью, параллельной оси Oy, имеет вид: ![]() Теперь рассмотрим методы решения интегралов с помощью программы Matlab. 1.1 Численный метод Вычисление определенных интегралов. Рассмотрим пример: В первую очередь необходимо создать функцию, вычисляющую подынтегральное выражение.
Для вычисления интеграла вызовем функцию quad, задав первым аргументом ссылку на функцию fint, а вторым и третьим — нижний и верхний пределы интегрирования.
По умолчанию функция quad вычисляет приближенное значение интеграла с точностью 10-6. [1, C.266] Для изменения точности вычислений следует задать дополнительный четвертый аргумент:
Вычисление двойных интегралов. В MATLAB определена функция dblquad для приближенного вычисления двойных интегралов. Как и в случае вычисления определенных интегралов, следует написать файл-функцию для вычисления подынтегрального выражения. Вычислим интеграл: Следовательно, функция должна содержать два аргумента x и y:
Функция dblquad имеет пять входных аргументов. При ее вызове необходимо учесть, что первыми задаются пределы внутреннего интеграла по х, а вторыми — внешнего по у:
Интегралы, зависящие от параметра. Функции quad и quadl позволяют находить значения интегралов, зависящих от параметров. Аргументами функции, вычисляющей подынтегральное выражение, должна быть не только переменная интегрирования, но и все параметры. Значения параметров указываются через запятую, начиная с шестого аргумента quad или quadl. [1, C.270] Решим интеграл: Зададим функцию
Используя quad, вычислим интеграл:
Символьный метод Символьные переменные и функции являются объектами класса sym object, в отличие от числовых переменных, которые содержатся в массивах double array. Символьный объект создается при помощи функции syms. Команда >> syms х a b создает три символьные переменные х, а и b. Конструирование символьных функций от переменных класса sym object производится с использованием обычных арифметических операций и обозначений для встроенных математических функций, например: >>f = (sin(x)+a)^2 * (cos(x)+b)^2/sqrt (abs(a+b)) f = ( sin(x)+a)2*(cos(x)+b)^2/abs(a+b)^(1/2) Запись формулы для выражения в одну строку не всегда удобна, более естественный вид выражения выводит в командное окно функция pretty: >>pretty(f)
2 2 (sin(x)+a) (cos(x)+b) ------------------------------- 1/2 | a + b | Символьную функцию можно создать без предварительного объявления переменных при помощи sym, входным аргументом которой является строка с выражением, заключенная в апострофы:
Symbolic Math Toolbox позволяет работать как с неопределенными интегралами, так и с определенными. Неопределенные интегралы от символьных функций вычисляются при помощи int, в качестве входных аргументов указываются символьная функция и переменная, по которой происходит интегрирование, например:
Разумеется, функция int не всегда может выполнить интегрирование. В некоторых случаях int возвращает выражение для первообразной через специальные функции, например, посчитаем интеграл:
Ответ содержит так называемую функцию ошибки, которая определяется интегралом с переменным верхним пределом: Кроме того, в полученное выражение входит комплексная единица, хотя подынтегральная функция вещественна. Требуются дополнительные преобразования для достижения окончательного результата. Для нахождения определенного интеграла в символьном виде следует задать нижний и верхний пределы интегрирования, соответственно, в третьем и четвертом аргументах int:
Двойные интегралы вычисляются повторным применением функции int. [1, C.780] Например: Определим символьные переменные а, b, с, d, x, у, подынтегральную функцию f от х и у и проинтегрируем сначала по х, а затем по у:
Аналогичным образом в символьном виде вычисляются любые кратные интегралы.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1074)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |