Цели урока:
Образовательные:
• знать общую схему и особенности вычисления площадей с помощью интегралов;
• уметь проводить формализацию задачи.
Воспитательная:
• воспитание трудолюбия.
Развивающие:
• развитие познавательного интереса;
• развитие самостоятельности при работе с методическим материалом;
• формирование информационной культуры.
Методы обучения:
1. Проверочная работа;
2. Практическая работа.
План урока:
1. Организационный момент (3 мин)
2. Объявление целей урока (3 мин)
3. Практическая работа (30 мин)
4. Самостоятельная работа (40 мин)
5. Подведение итогов (4 мин)
Ход урока отображен в табл. 6.
Таблица 6
Ход урока
Учитель
| Ученики
| Тетрадь
|
Здравствуйте.
Садитесь.
| Здравствуйте.
|
|
Тема нашего сегодняшнего урока «Вычисление площадей с помощью интегралов».
|
| Вычисление площадей с помощью интегралов
|
Первый урок будет посвящен разбору примеров, после чего на втором уроке вы будете самостоятельно вычислять площади с помощью интегралов.
|
|
|
Сейчас я вам выдам раздаточный материал, в котором подробно описан ход вычисления площадей. Внимательно изучите и поэтапно выполните то, что от вас требуется. Если кто-то выполняет задание раньше, он может приступать к задачам для самостоятельного решения, которые приведены в конце раздаточного материала.
| Ученики берут раздаточный материал, садятся за компьютеры и начинают работать.
| Задача 1. Найти площадь фигуры,
ограниченной параболами у = х2, у = 2х-х2 и осью
Ох.
Построим графики функций у - х2, у = 2х - х2
и найдем абсциссы точек пересечения этих графиков
из уравнения х2 = 2х - х2. Корни этого уравнения х1 = 0, х2 = 1. Данная фигура изображена на рис. 2.2.
Из рисунка видно, что фигура состоит из двух
криволинейных трапеций.
Следовательно, искомая площадь равна сумме
площадей этих трапеций:
S = = 1
Задача 2. Найти площадь S фигуры,
ограниченной отрезком оси Ох и графиком
функции у = cos x на этом отрезке.
Заметим, что площадь данной фигуры равна площади
фигуры, симметричной данной относительно оси Ох,
изображенной на рис. 2.3, т.е. площади фигуры,
ограниченной отрезком оси Ох и графиком
|
|
| Таблица8 (продолжение)
| |
Учитель
| Ученики
| Тетрадь
| |
|
| функции y = - cosx на отрезке . На этом отрезке
- cosx 0, и поэтому
S = = 2
В общем, если f(x) 0 на отрезке [а; b], то
площадь S криволинейной трапеции равна
S =
Задача 3. Найти площадь S фигуры,
ограниченной параболой у = х2 +1 и прямой
у = х + 3
Построим графики функций у = х2+1 и у = х + 3 .
Найдем абсциссы точек пересечения этих графиков из
уравнения х2 +1 = х+3. Это уравнение имеет корни
x1 = -1, х2 = 2. Фигура, ограниченная графиками
данных функций, изображена на рис. 2.4.
Из этого рисунка видно, что искомую площадь можно
найти как разность площадей S1 и S2 двух трапеций,
опирающихся на отрезок [-1;2], первая из которых
ограничена сверху отрезком прямой у = x + 3, а
вторая - дугой параболы у = х2 +1. Так как
S1 = S2 = , то
S = S1 – S2 =
Используя свойство первообразных, можно
записать S в виде одного интеграла:
S=
В общем, площадь фигуры равна:
S =
Эта формула справедлива для любых
непрерывных функций f1(x) и f2(х) (принимающих
значения любых знаков), удовлетворяющих условию
Задача 4. Найти площадь S фигуры,
| |
| | | | | |
Таблица 8 (продолжение)
Учитель
| Ученики
| Тетрадь
|
|
| ограниченной параболами у = х2 и у = 2х2 -1.
|
|
| Построим данную фигуру, которая изображена
|
|
| на рис. 2.5, и найдем абсциссы точек пересечения
|
|
| парабол из уравнения х2 = 2х2 -1.
|
|
| Это уравнение имеет корни x1,2=
|
|
| Воспользуемся формулой (1). Здесь f1(x) = 2x2 -1,
|
|
| f2(х) = х2.
|
|
| S =
|
|
|
Конец первого урока. Все справились? (Подходит к тем, кто не успел и ищет ошибку, указывает на нее, но не исправляет.)
Все успели?
| Нет.
Да.
|
|
|
|
|
|
|
|
Начало второго урока. Переходим к решению самостоятельных задач. Внимательно ознакомьтесь и приступайте к решению. Задания выполняете в той же форме, как и примеры. При затруднениях поднимайте руку, я подойду.
| Делают самостоятельно.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, все успели? Сейчас я подойду к каждому и проверю решение.
| Да.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раздаточный материал
(из учебника «Алгебра и начала анализа». Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.)
Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у = х2, у=2х-х2 и осью Ох.
Построим графики функций у = х2, у = 2х-х2 и найдем абсциссы точек
пересечения этих графиков из уравнения х2 =2х – х2. Корни этого уравнения х1= 0, х2 = 1. Данная фигура изображена на рис. 2
Рисунок 2. Фигура, ограниченная параболами у = х2, у = 2х — х2 и осью Ох
Из рисунка видно, что фигура состоит из двух криволинейных трапеций. Следовательно, искомая площадь равна сумме площадей этих трапеций
S =
Задача 2. Найти площадь S фигуры, ограниченной отрезком оси Ох и графиком функции у = cos x на этом отрезке.
Заметим, что площадь данной фигуры равна площади фигуры, симметричной данной относительно оси Ох, изображенной на рис. 3,
Рисунок 3 Фигура, ограниченная отрезком и графиком функции у= cosx
т.е. площади фигуры, ограниченной отрезком оси Ох и графиком функции y = -cosx на отрезке . На этом отрезке – cos x > 0, и поэтому
S = = 2