Правило множителей Лагранжа
Описываемый ниже необходимый признак локального условного минимума был сформулирован Лагранжем. Определим F: Rm ® Rk+1, положив F(x) = (f0(x), f1(x), ..., fk(x)). Заданная на Rm×Rk+1 скалярная функция Лагранжа M по определению принимает значения в R и задается равенством
M(x, m) = (m, F(x)) = mi fi(x) (x Î Rm, m Î Rk+1).
Координаты вектора m, т. е. числа m0, m1, ..., mk называются множителями Лагранжа или двойственными переменными. Оказывается, имеет место следующая теорема, часто именуемая правилом множителей Лагранжа: Теорема. Пусть F Î C1 и x* — локальный условный минимум функции f0 при ограничениях fi(x) = 0 (i = 1, ..., k). Тогда найдется ненулевой вектор m* такой, что x* является стационарной точкой функции x M(x, *):
M¢x(x, m*)|x=x*= m*i f ¢i(x*)= Q.
Правило множителей Лагранжа доставляет необходимое условие локального условного минимума и поэтому позволяет искать точки, "подозрительные" на экстремум. В самом деле, для нахождения точки (x*, m*) Î Rm+k+1, т. е. для нахождения m + k + 1 неизвестных, мы имеем m + k уравнений
f(x) = Q, M¢x(x, l)= Q.
Поскольку, очевидно, множители Лагранжа можно искать с точностью до постоянного множителя, то в общей ситуации этих уравнений хватает для отыскания x*. Регулярные точки Допустимая точка x задачи (3.1)–(3.2) называется регулярной, если векторы {f i(x)}ki=1линейно независимы. Оказывается, что если x* — регулярная точка минимума, то в векторе * можно считать *0 ненулевым, а поскольку множители Лагранжа определяются с точностью до множителя, можно считать, что *0 = 1. Чтобы сформулировать это утверждение более точно, введем следующие обозначения. Пусть Rk, а функция Лагранжа в регулярном случае определяется равенством
L(x, l) = f0(x) + (l, f(x)) = f0(x) + li fi(x) (x Î Rm, l Î Rk).
Очевидно, L(x, l) = M(x, m), m = (1, l). Теорема (правило множителей Лагранжа в регулярном случае) Пусть F C1, а x* — регулярное локальное решение задачи (3.1)–(3.2). Тогда найдется ненулевой вектор * Rk такой, что
L¢x(x*, l*)= Q.
Одно достаточное условие локального минимума Говорят, что линейный оператор A положительно определен на подпространстве E, если (Ax, x) > 0 при всех x E. Касательным подпространством к многообразию в точке y называется множество Ty = {x Rm: (f (y), x) = 0, i = 1, ..., k}. Касательной гиперплоскостью к многообразию в точке y называется множество
W¢y = {x Î Rm: fi(y) + (f ¢(y), xy) = 0, i = 1, ..., k}.
Теорема (достаточное условие минимума) Пусть F Î C2, а x* — регулярная стационарная точка функции Лагранжа, т. е., в частности, L¢(x*, *) = при некотором ненулевом * Rk. Тогда, если Lxx¢¢(x*, l*)положительно определен на Tx*, то точка x* является локальным решением задачи (3.1)–(3.2).
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (221)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |