Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.
Задание 12 Вычисление интегралов методом Монте – Карло. Цель: 1) Реализация генератора случайных чисел для метода Монте – Карло. 2) Сравнение равномерного распределения и специально разработанного. 3) Вычисление тестового многомерного интеграла в сложной области. Продукт: 1) Программный код в виде функции на языке С++ или Fortran . 2) Тестовые примеры в виде программы, вызывающие реализованные функции. 3) Обзор использованной литературы. Для реализации данного технического задания был выбран язык C++. Код реализован в интегрированной среде разработки приложений Borland C++ Builder Enterprises и математически обоснован соответствующий способ вычисления интеграла. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА Принцип работы метода Монте – Карло
Датой рождения метода Монте - Карло признано считать 1949 год, когда американские ученые Н. Метрополис и С. Услам опубликовали статью под названием «Метод Монте - Карло», в которой были изложены принципы этого метода. Название метода происходит от названия города Монте – Карло, славившегося своими игорными заведениями, непременным атрибутом которых являлась рулетка – одно из простейших средств получения случайных чисел с хорошим равномерным распределением, на использовании которых основан этот метод. Метод Монте – Карло это статистический метод. Его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации, при исследовании сложных экономических систем. Сущность метода состоит в том, что в задачу вводят случайную величину , изменяющуюся по какому то правилу . Случайную величину выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина стала математическим ожидание от , то есть . Таким образом, искомая величина определяется лишь теоретически. Чтобы найти ее численно необходимо воспользоваться статистическими методами. То есть необходимо взять выборку случайных чисел объемом . Затем необходимо вычислить выборочное среднее варианта случайной величины по формуле: . (1) Вычисленное выборочное среднее принимают за приближенное значение . Для получения результата приемлемой точности необходимо большое количество статистических испытаний. Теория метода Монте – Карло изучает способы выбора случайных величин для решения различных задач, а также способы уменьшения дисперсии случайных величин. Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.
Рассмотрим n – мерный интеграл для . (2) Будем считать, что область интегрирования , и что ограниченное множество в . Следовательно, каждая точка х множества имеет n координат: . Функцию возьмем такую, что она ограничена сверху и снизу на множестве : . Воспользуемся ограниченностью множества и впишем его в некоторый n – мерный параллелепипед , следующим образом: , где - минимумы и максимумы, соответственно, - ой координаты всех точек множества : . Доопределяем подынтегральную функцию таким образом, чтобы она обращалась в ноль в точках параллелепипеда , которые не принадлежат : (3) Таким образом, уравнение (2) можно записать в виде . (4) Область интегрирования представляет собой n – мерный параллелепипед со сторонами параллельными осям координат. Данный параллелепипед можно однозначно задать двумя вершинами , которые имеют самые младшие и самые старшие координаты всех точек параллелепипеда. Обозначим через n-мерный вектор, имеющий равномерное распределение в параллелепипеде : , где . Тогда ее плотность вероятностей будет определена следующим образом (5) Значение подынтегральной функции от случайного вектора будет случайной величиной , математическое ожидание которой является средним значением функции на множестве : . (6) Среднее значение функции на множестве равняется отношению значения искомого интеграла к объему параллелепипеда : (7) Обозначим объем параллелепипеда . Таким образом, значение искомого интеграла можно выразить как произведение математического ожидания функции и объема n- мерного параллелепипеда : (8) Следовательно, необходимо найти значение математического ожидания . Его приближенное значение можно найти произведя n испытаний, получив, таким образом, выборку случайных векторов, имеющих равномерное распределение на . Обозначим и . Для оценки математического ожидания воспользуемся результатом , (9) где , , - квантиль нормального распределения, соответствующей доверительной вероятности . Умножив двойное неравенство из (9) на получим интервал для I: . (10) Обозначим точечную оценку . Получаем оценку (с надежностью ): . (11) Аналогично можно найти выражение для относительной погрешности : . (12) Если задана целевая абсолютная погрешность , из (11) можно определить объем выборки, обеспечивающий заданную точность и надежность: . (13) Если задана целевая относительная погрешность, из (12) получаем аналогичное выражение для объема выборки: . (14)
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (244)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |