Численное решение дифференциальных уравнений
Уравнение, содержащее производные от искомой функции y = y(x), называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ). Общий вид дифференциального уравнения: (2.23) где n – наивысший порядок производной, определяет порядок уравнения. Решением ОДУ называется функция y= y(x), которая после ее подстановки в уравнение (2.23) обращает его в тождество. Общее решение ОДУ имеет вид: (2.24) где C1, C2, …, Cn – постоянные интегрирования. Частное решение получается из общего при конкретных значениях Ci, . Эти значения определяются из n дополнительных условий. В качестве таких условий могут быть заданы значения функции и ее производных при некоторых значениях аргумента x, иначе говоря, в некоторых точках. В зависимости от того, как заданы эти дополнительные условия, выделяют 2 типа задач: · задача Коши. Все условия заданы в одной, начальной точке, поэтому они называются начальными условиями. · краевая задача. Условия заданы в более чем одной точке, обычно в начальной и конечной. Условия в этом случае называются краевыми или граничными. Такая задача может возникнуть только при решении ОДУ с порядком выше первого. Разработано множество методов решения подобных задач: 1. Графические методы. Например, метод изоклин – путем графических построений находят точки исходной функции и строят ее график. 2. Аналитические методы позволяют получить формулу исходной функции путем аналитических преобразований. 3. Приближенные методыпозволяют получить приближенное аналитическое решение в результате принятых упрощений. К приближенным относятся асимптотические методы и метод малых возмущений. 4. Численные методы позволяют получить таблицу приближенных значений искомой функции для ряда заранее выбранных значений ее аргумента. На практике чаще всего применяются численные методы: они просты в использовании и не имеют ограничений. Задача решения ОДУ 1-го порядка (задача Коши) формулируется следующим образом: Найти y= y(x), удовлетворяющую уравнению (2.25) для при заданном начальном условии y(a) = y0. Рассмотрим численные методы решения этой задачи. Метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 1-го порядка). Разобьем отрезок [a, b] на n необязательно равных частей – элементарных отрезков, точки x0, x1,…, xn – узлы сетки, если сетка равномерная, то – шаг сетки Очевидно, что Заменим в уравнении (2.25) в точке xi её приближенной оценкой – отношением приращений (это следует из определения производной): Тогда получаем: . Отсюда формула Эйлера: (2.26) Зная y0 в точке x0 (начальное условие) можно найти y1, затем, используя уже известные значения x1 и y1, вычислить x2 и y2 и так далее. Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода Эйлера. В координатах (x,y) отобразим известные данные: отрезок [a,b] на оси ОХ и начальное условие y0 – точка А с координатами (a, y0). Отрезок [a,b] разобьем на n равных частей, получим узлы равномерной сетки a = x0, x1, x2, … , xn = b. Вычислим значения первой производной искомой функции в точке А, используя координату этой точки и исходное уравнение (2.25) . Полученное значение позволяет построить касательную к искомой функции в точке А. Эту касательную можно использовать для вычисления приближенного значения искомой функции в новом узле х1 (кривую y(x) заменяем на отрезком АВ на элементарном отрезке [x0, x1]).
Рисунок 2.13. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера.
Зная (x1,y1), можно аналогично получить новую точку (x2,y2) и т.д. Из геометрической иллюстрации следует, что: 1. на каждом шаге есть погрешность (на рисунке это отрезок BD). Погрешность тем больше, чем больше шаг. 2. ошибка может накапливаться. Формула Эйлера (2.26) имеет погрешность метода Для практического выбора h с целью обеспечения заданной точности решения задачи e применяется следующий прием. Выполняются два расчета: с n и 2n узлами. Если полученные значения функции во всех узлах отличаются не более чем на e, задача считается решенной. Если нет, число узлов вновь удваивают и опять сравнивают полученные значения функций. Таким образом, расчет продолжается до достижения условия Значение n может достигать большой величины – более 1000. Чтобы не печатать столько значений функции, в алгоритме решения ОДУ методом Эйлера нужно предусмотреть печать не всех рассчитанных значений, а только части их, например, десяти значений, распределенных равномерно по всему отрезку.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (214)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |