Дифференциальное исчисление функций и его приложение»
Содержание
1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного 2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение 3. Интегральное исчисление функции одного переменного
Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного 1. Вычислить предел: . Решение. При имеем
Следовательно,
2. Найти асимптоты функции: . Решение. Очевидно, что функция не определена при . Отсюда получаем, что
Следовательно, – вертикальная асимптота. Теперь найдем наклонные асимптоты.
Следовательно, – наклонная асимптота при . 3. Определить глобальные экстремумы: при . Решение. Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .
.
А затем находим критические точки.
Теперь найдем значение функции на концах отрезка.
.
Сравниваем значения и получаем:
4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: . Решение. Сначала находим . . Затем находим критические точки.
Отсюда следует, что функция возрастает при , убывает при . Точка – локальный минимум.
5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: . Решение Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.
. . .
Отсюда следует, что функция выпуклая при , вогнутая при . Точки , – точки перегиба.
Дифференциальное исчисление функций и его приложение» 1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции . Решение. 1) Область определения функции
.
2) Функция не является четной или нечетной, так как
.
3) Теперь найдем точки пересечения с осями:
а) с о x: , б) с oy .
4) Теперь найдем асимптоты.
а)
А значит, является вертикальной асимптотой. б) Теперь найдем наклонные асимптоты
Отсюда следует, что является наклонной асимптотой при . 5) Теперь найдем критические точки
не существует при .
6) не существует при
Построим эскиз графика функции
2. Найти локальные экстремумы функции . Решение. Сначала найдем частные производные
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
То есть мы получили одну критическую точку: . Исследуем ее. Далее проведем исследование этой точки. Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка
Для точки :
.
Следовательно, точка не является точкой экстремума. Это означает, что точек экстремума у функции
нет.
3. Определить экстремумы функции , если . Решение. Сначала запишем функцию Лагранжа
.
И исследуем ее
(Учитываем, что по условию )
То есть мы получили четыре критические точки. В силу условия нам подходит только первая . Исследуем эту точку. Вычислим частные производные второго порядка:
Отсюда получаем, что
Теперь продифференцируем уравнение связи . Для точки Далее получаем
То есть мы получили отрицательно определенную квадратичную форму. Следовательно, – точка условного локального максимума.
.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (167)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |