Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Задача 1. Даны векторы a, b, c, d. Для указанных в пп. 1-3 векторов требуется: ) вычислить скалярное произведение векторов из пункта; 2) найти модуль векторного произведения векторов; 3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов; 4) убедиться, что векторы a,b,c образуют базис; 5) найти координаты вектора d в этом базисе.
a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k, d=19i+30j+7k;
1) -7a, 4c; 2) 3a, 7b; 3) a, c. . Вычислить скалярное произведение векторов из пункта:
) найти модуль векторного произведения векторов;
) проверить коллинеарность и ортогональность векторов и ; Вектора коллиниарны если
,
или векторное произведение :
, т.е. вектора и неколлиниарны.
Вектора и перпендикулярны если их скалярное произведение .
Т.е. и неперпендикулярны. ) Убедиться, что векторы a,b,c образуют базис;
a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k
В пространстве образует базис любая тройка некомпланарных векторов. Вектора некомпланарны, когда их смешанное произведение не равно 0;
Следовательно вектора образуют базис. ) Найти координаты вектора d=19i+30j+7k в базисе векторов a,b,c.
Получили систему:
Решим систему методом Крамера:
, , , ; ;
Задача 2. Даны вершины A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) треугольника ABC. Требуется найти: уравнение стороны AB; Уравнение прямой, проходящей через две точки А и В имеет вид:
АВ:
уравнение высоты CH и длину этой высоты; Общее уравнение прямой имеет вид: , где - координаты вектора нормали. Определим a и b для прямой АВ:
Вектор нормали одновременно является направляющим вектором прямой СН. Тогда каноническое уравнение высоты будет иметь вид (с учетом того, что прямая проходит через точку ):
Длина высоты СН равна модулю проекции вектора АС или ВС на направление вектора
уравнение меидианы AM; Определим координаты точки М:
Тогда уравнение АМ, проходящей через 2 точки имеет вид:
точку N пересечения медианы AM и CH;
уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину C;
Вектор
Тогда каноническое уравнение искомой прямой будет иметь вид:
) внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C.
A(-2,-3), B(1,6), C(6,1).
Задача 3. Составить канонические уравнения 1) эллипса, 2) гиперболы, 3) параболы по известным из условий 1 - 3 параметрам. Через a и b обозначены большая и малая полуоси эллипса или гиперболы, через F - фокус кривой, - эксцентриситет, 2 c - фокусное расстояние, - уравнения асимптот гиперболы, D - директриса кривой, A, B- точки, лежащие на кривой.
Составить каноническое уравнение эллипса, если Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
Подставим координаты точки А в уравнение и получим:
Искомое каноническое уравнение эллипса имеет вид:
Составить каноническое уравнение гиперболы, если
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
Точка А является одной из точек пересечения гиперболы с осью ОХ. Следовательно . Зная точку В найдем фокусное расстояние с гиперболы.
Следовательно, уравнение искомой гиперболы будет иметь вид: вектор произведение эллипс гипербола
Составить каноническое уравнение параболы, если известна директриса Каноническое уравнение искомой параболы имеет общий вид: Директриса записывается виде
Следовательно искомое уравнение имеет вид: Задачи 4. Даны четыре точки A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2), A3(x3,y3,z3), A4(x4,y4,z4). Требуется найти: ) уравнение плоскости A1A2A3; Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки имеет вид:
2) уравнение прямой, проходящей через точку A4, перпендикулярно плоскости A1A2A3; Направляющий вектор прямой совпадает с вектором нормали плоскости A1A2A3 координаты которых определяются как
Каноническое уравнение искомой прямой принимает вид:
расстояние от точки A4 до плоскости A1A2A3 находится как:
синус угла между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3;Уравнение прямой A1A4 имеет вид:
Направляющий вектор прямой A1A4 . Тогда
) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A1A2A3. A1(7,5,3), A2(9,4,4), A3(4,5,7), A4(7,9,6). Косинус угла между плоскостями определяется как косинус угла между его нормалями:
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (360)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |