Основы геометрической оптики. 9 страница
Рассмотрим простейший случай волновой функции, зависящей только от одной пространственной координаты Окончательно волновую функцию запишем в виде:
где Поскольку волна монохроматическая, то В то же время, рассматриваемая монохроматическая волна бесконечна, она не имеет ни начала, ни конца и заполняет все пространство
Рассмотрим теперь другой объект ‑ волновой пакет (см. рис. 3.18). Т.е. такую волну, которая отлична от нуля лишь в некотором интервале Такой волновой пакет можно получить, складывая монохроматические волны разных частот, т.е. разных длин волн, в некотором интервале от Посмотрим теперь, что стало с импульсом. А импульс стал неопределенен. Ведь импульс определяется через длину волны Чем более узкая область локализации пакета ‑ Соотношение между Чтобы определить положение и импульс электрона, его нужно осветить, т.е. получить от него хотя бы один рассеянный фотон. При этом, вследствие дифракции, точность в определении положения электрона не может быть больше длины волны фотона: Но при рассеянии фотона электрон получает отдачу и его импульс меняется на величину Это соотношение и носит название соотношение неопределенностей. Аналогичные соотношения имеют место и для других координат.
Таким образом, полученные соотношения связывают область локализации волнового пакета и область длин волн, для его реализации.
Электрон в электронно-лучевой трубке и в атоме Итак, соотношение неопределенностей отражает корпускулярно-волновой дуализм материальных тел. С помощью этих соотношений, можно определить в каком случае, какими представлениями необходимо пользоваться. Например, движение электрона в электронно-лучевой трубке. Пусть неопределенность в определении импульса составляет Тогда неопределенность в определении его координаты будет равна При скорости электрона В этом случае неопределенность локализации будет равна: Т.е область локализации электрона ‑ В то же самое время для атома
Длина волны де-Бройля покоящихся тел Теперь можно рассмотреть вопрос об определении длины волны покоящегося тела, например электрона. Формально мы получим: Но согласно соотношению неопределенности Подставив неопределенность импульса в определение длины волны, получим: Таким образом, длину волны покоящейся частицы мо сможем определить с точностью до области локализации. Для малых скоростей длина волны де-Бройля соответствует области локализации, а при больших скоростях она меньше области локализации. Для макроскопических тел при малых скоростях: Следовательно, нельзя говорить, что скорость тела равна нулю. Нужно говорить, что тело обладает минимальной скоростью: где равна точности определения координаты тела.
Физический смысл волновой функции Мы уже отмечали, что в квантовой механике частицы описываются с помощью волновой функции Аналогично этому, произведение квадрата модуля волновой функции на элемент объема
физически толкуется как вероятность того, что действие частицы будет обнаружено в объеме Функция Т.е. вероятность обнаружения частицы где-нибудь в пространстве равна единице ‑ частица существует. Следует иметь ввиду, что область действия (или что то же самое область обнаружения) не совпадает с областью локализации. Например, область действия ‑ захват электрона ионом, ограничена размерами иона. А область локализации электрона гораздо больше.
Волновая функция заряженной частицы Поскольку функция Предположим, что нам известна Эта задача в квантовой механике решается своеобразным приемом. Каждой величине ставится в соответствие свой оператор. Подействовав этим оператором на Например. Пусть частица двигается вдоль оси Используя соотношения Волновая функция незаряженной частицы есть гармоническая функция sin или cos от
Операторы импульса и энергии Продифференцируем Или Таким образом, значение импульса мы получим как множитель перед Аналогично можно получить и для других координат: Найдем теперь выражение для оператора энергии из условия, что должно выполняться равенство Отсюда Т.е. оператор энергии имеет вид:
Уравнение Шредингера С другой стороны, энергия частицы имеет вид: Квадрат импульса равен сумме квадратов проекций импульса, т.е. Представим теперь проекции импульсов в виде операторов: Т.е. Аналогично и по другим координатам: Следовательно, оператор кинетической энергии будет иметь вид: где Таким образом, оператор кинетической энергии будет иметь вид: Потенциальная энергия содержит только координаты. Поэтому оператор Таким образом, оператор полной энергии, называемый оператором Гамильтона Таким образом, используя предыдущее выражение для оператора полной энергии, мы получим следующее уравнение:
Это уравнение называется уравнением Шредингера. В раскрытом виде уравнение Шредингера имеет вид:
Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:
Специальными исследованиями было показано, что это уравнение при больших массах переходит в уравнение классической физики.
Пример
Поскольку случай одномерный и стационарный, то уравнение Шредингера будет иметь вид: Вне потенциальной ямы Внутри потенциальной ямы Граничные условия для функции Преобразуем уравнение для Введем обозначение: Окончательное дифференциальное уравнение для нахождения Как видим, получили дифференциальное уравнение незатухающих колебаний (I.2.4), только не во времени, а в пространстве. Решение этого уравнения имеет вид (I.2.6): Константы интегрирования 1. Удовлетворим граничному условию в нуле ‑ 2. Удовлетворим теперь второму граничному условию ‑ Следовательно, Выражение для амплитуды Возьмем интеграл этого уравнения: Следовательно, условие нормировки примет вид: Окончательно
Графики самой ![]() ![]()
Получим теперь выражение для энергии частицы в потенциальной яме. Из выражения для квадрата частоты следует, что Мы видим, что энергия частицы квантуется, принимает дискретный ряд значений.
Лекция 12 (2 часа)
Уравнение Шредингера. (Решение уравнения Шредингера для простейших одномерных задач. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Гармонический осциллятор. Туннельный эффект.)
Поскольку случай одномерный и стационарный, то уравнение Шредингера будет иметь вид: Вне потенциальной ямы Внутри потенциальной ямы Граничные условия для функции Преобразуем уравнение для Введем обозначение: Окончательное дифференциальное уравнение для нахождения Как видим, получили дифференциальное уравнение незатухающих колебаний (I.2.4), только не во времени, а в пространстве. Решение этого уравнения имеет вид (I.2.6): Константы интегрирования 1. Удовлетворим граничному условию в нуле ‑ 2. Удовлетворим теперь второму граничному условию ‑
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (165)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |