Тема 2.5 Определенный интеграл
2.51 Понятие определенного интеграла, Его геометрический смысл. Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [a;b] задана неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью у=0 (рис. 10).
S Sл
Рис.10 рис.11 Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой y= f(x) на [a;b] (рис.11) . фигура под ломаной состоит из трапеций ( прямоугольников) , и ее площадь Sл ( равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство S≈ Sл. Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади Sл под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой. Приведенные рассуждения носят качественный характер. Для того чтобы их можно было использовать на практике, необходимо уточнить в них то, что описывалось нестрого: процедура выбора ломаной и последующий предельный переход. На этом пути мы получим понятие определенного интеграла. Понятие интегральной суммы. Пусть на [a;b] задана функция у=f(x). Разобьем отрезок [a;b] на n элементарных отрезков точками x0, x1,…, xn: a=x0<x1<x2<…<xn=b. На каждом отрезке [xi-1,xi] разбиения выберем некоторую точку ξi и положим Δ xi=xi-xi-1, где i=1,2,3,…,n. Сумму вида будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a;b] точками x0, x2, …, xn, так и от выбора точек ξ1, ξ2, … ξn на каждом из отрезков разбиения [x i-1, xi], где i=1, 2, … n.
Геометрический смысл интегральной суммы. Пусть функция y= f(x) неотрицательна на [a;b] . отдельное слагаемое f(ξi).Δxi интегральной суммы в этом случае равно Si прямоугольника со сторонами f(ξi) и Δxi, где i=1, 2, … n ( см. рис. 12, где х0-х1= Δx1, х2-х1= Δx2, и т.д.)
![]() ![]() ![]()
f(ξ2) f(ξ1)
0 a=x0 ξ1 x1 ξ2 x2 ξ3
Рис.12
ванной на каждом из отрезков [xi-1,xi] прямой y= f(ξ i) параллельной оси абсцисс ( рис.12) Понятие определенного интеграла.
Для избранного разбиения отрезка [a;b] на части обозначим через
Определение.Пусть предел интегральной суммы при стремлении При этом число а называется нижним пределом, число b- его верхним пределом; функция f(x) - подынтегральной функцией, выражениеf(x)dx- подынтегральным выражением, а задача о нахождении Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие определенного интеграла введено таким образом , что в случае, когда функция y=f(x) неотрицательна на отрезке [a,b], где a<b,
2.52 Свойства определенного интеграла.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (834)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |