Нормальный закон распределения. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа
По определению плотность нормально распределенной случайной величины равна
Возможные значения такой величины Х могут принимать любые действительные значения -∞<Х<∞, а распределение зависит от двух параметров . -∞<m<∞ и -∞<σ<∞. Таким образом, график функции f(х) будет таким: При изменении m кривая f(x) скользит вдоль оси абсцисс, не меняя своей формы. При изменении σ кривая меняет свою форму: если σ увеличивается, то кривая становится ниже и шире и наоборот.
Если m=0 и σ=1, то закон нормального распределения называется стандартным. В этом случае
Если случайная величина Храспределена по нормальному закону с параметрами m и σ , то этот факт записывают так:. Вычислим математическое ожидание случайной величины
Таким образом, параметр m - это математическое ожидание случайной величины X. Вычислим теперь дисперсию
где мы использовали то, что по правилу Лопиталя Таким образом, параметр σ - это среднеквадратическое отклонение, поскольку σ2- это дисперсия. Мода и медиана нормального распределения совпадает с математическим ожиданием, т.к. максимум f(x) достигается при x=m и
где
функция распределения закона которая имеет график, представленный на рисунке. Пусть Вычислим Р(а<Х<b) - вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. По свойству плотности распределения имеем
где мы использовали формулу Ньютона-Лейбница для определенных интегралов, а - любая первообразная для подынтегральной функции
Любая первообразная может быть рассчитана по формуле
где С- произвольная постоянная. Это можно легко проверить дифференцированием . При С=0 мы получаем функцию Лапласа
а при С=∞ -функцию распределения стандартного нормального закона
Нетрудно получить связь между Ф*(х) и Ф(х). Окончательно получаем
В зависимости от имеющихся у нас под руками таблиц мы воспользуемся той или иной формулой. Отметим, что пользоваться таблицами функции Лапласа удобней, так как она нечетна и мы легко - находим ее значения при отрицательном аргументе (обычно, таблицы заданы только для положительных значений аргумента). Пользоваться таблицами функции Ф*(х) в этом случае несколько неудобнее, если она задана только для положительных значений аргумента. ПРИМЕР 1. Пусть Найдем вероятность того, что Х примет значение из интервала ]0;3[.
По таблице функции Лапласа получаем
По таблице функции распределения стандартного нормального закона получаем, используя ее связь с функцией Лапласа:
В этом примере мы вывели полезную формулу Ф*(-х)=1-Ф*(х), которую легко пояснить следующим рисунком. Найдем вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал ]m-l,m+l[, симметричный относительно математического ожидания:
При различных l получаем
Как мы видим, хотя теоретически возможные значения Х могут быть любые, но практически все значения попадают в интервал ]m-3σ,m+3σ[. Этот факт обычно называют правилом «трех сигм». При нормальном распределении из 10000 измерений только 27 имеют «законное» право выйти из этого интервала ( событие маловероятное и им обычно пренебрегают). Поэтому можно считать, что все возможные значения нормальной случайной величины находятся в этом интервале.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1768)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |