Разберите решение задачи 3
Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства):
Решение: Множество решений однородной СЛАУ является подпространством линейного пространства и обозначается (ker A). Размерность этого подпространства определяют по формуле: dim(ker A) = n – r, где n – количество неизвестных в однородной СЛАУ, r – ранг матрицы А. В нашем случае n =5. Необходимо найти ранг матрицы. Запишем матрицу коэффициентов СЛАУ и найдем ее ранг методом элементарных преобразований: 1) поменяем местами строки; 2) от элементов 2-ой строки вычтем элементы 1-ой строки, умноженной на 6; от элементов 3-ей строки вычтем элементы 1-ой строки, умноженной на 7; 3) от элементов 3-ей строки вычитаем элементы 2-ой, получаем нулевую строку и вычеркиваем ее ~ ~
~ ~ . Ранг матрицы А равен числу ненулевых строк. Таким образом, r=2. dim(ker A) = n – r=5-2=3. Т.е., линейное подпространство решений данной однородной СЛАУ имеет размерность 3. Следовательно, имеется три линейно независимых решения, которые образуют фундаментальную систему решений (ФСР) данной однородной СЛАУ. Решим укороченную систему: Выберем в качестве базисного минора , также ранг полученной расширенной матрицы равен 2, тогда выберем два базисных неизвестных, например, х1 и х2. Оставшиеся х3, х4, х5 будут свободными неизвестными. В укороченной системе базисные неизвестные перенесем в левую часть, а свободные неизвестные – в правую часть равенств. Из последнего уравнения находим .Подставляя найденное значение х2 в первое уравнение, найдем х1: . Базисные решения получим, если свободным неизвестным будем придавать поочередно значение 1, полагая остальные равными 0. При х3=1, х4=0, х5=0, получим . При х3=0, х4=1, х5=0, получим . При х3=0, х4=0, х5=1, получим . Запишем базис линейного пространства решений однородной СЛАУ – фундаментальную систему решений: , , . Размерность линейного пространства решений однородной СЛАУ равна 3. Базис: .
Вопросы для самопроверки
1. Напишите формулы Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях система уравнений имеет а) единственное решение; б)бесчисленное множество решений; в)не имеет решения. В каких случаях можно использовать формулы Крамера. 1. Объясните схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса. 2. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Напишите формулу обратной матрицы. 3. Что называется рангом матрицы? Как его найти? 4. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли. 5. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений. 6. Опишите алгоритм решения системы уравнений методом Гаусса. 7. Какая система уравнений называется однородной? 8. Какие решения образуют фундаментальную систему?
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1665)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |