Решение задания типа 61-70
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график. Решение. Исследование функций и построение их графиков проводится по следующей схеме: 1) найти область определения функции ; исследовать функцию на четность и нечетность; 2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва (если они существуют) и установить характер разрыва; 3) найти асимптоты графика функции; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы; 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) найти точки пересечения графика функции с осями координат; 7) построить график функции.
1) Область определения функции: = . Проверим функцию на четность, нечетность: = . Значит функция ни четная, ни нечетная. 2) Точка разрыва х = 2, причем , , следовательно, х = 2 является вертикальной асимптотой графика функции. 3) Найдем наклонные асимптоты , для этого вычислим = ; = . Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика функции. 4) Интервалы возрастания, убывания и экстремумы определим по следующей схеме: а) находим первую производную ; б) находим критические точки, т.е. точки, в которых =0 или не существует; в) область определения разбиваем критическими точками на конечное число интервалов монотонности, в каждом из которых имеет строго определенный знак; г) в соответствии с достаточными условиями определяем интервалы возрастания, убывания функции и ее экстремумы. Итак, а) = = . б) критические точки находим из уравнения . Отсюда , следовательно, в) область определения разбиваем критическими точками на интервалы монотонности следующим образом:
г) вычисляем экстремумы функции: ; .
5) Найдем интервалы выпуклости, вогнутости кривой и ее точки перегиба. Вычислим : = = = = = ; Найдем точки, в которых =0 или не существует: = - нет решений, не существует, если , откуда . Находим интервалы знакопостоянства для :
Так как не входит в , то точек перегиба графика нет.
6) Найдем точки пересечения графика с осями координат: если , то , если , то или и . Следовательно, график проходит через точки .
7) Используя полученные результаты исследования, строим график функции.
Решение заданий типа 71-80.Даны функция трех переменных , точка и вектор . Найти: 1) градиент функции в точке ; 2) производную функции в точке по направлению вектора . Например, , , . Решение. 1) Градиент функции в точке это вектор, равный: , где значения частных производных функции по переменным x,y,z, соответственно, в точке М0. Найдем частные производные функции . Частная производная по переменной х является обыкновенной производной функции одной переменной х при фиксированном значении переменных у и z и обозначается . Т.о. = . При вычислении (частной производной по переменной у) переменные х и z считают постоянными. Тогда
= = = .
При вычислении (частной производной по переменной z) переменные х и y считают постоянными. Тогда
= = = .
Вычислим значения частных производных в точке : = ; = ; = . Тогда . 2) Производная функции в точке по направлению вектора вычисляется по формуле = , где =3, , вычислены в предыдущем задании этой задачи, а направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам , , . Для вектора они равны ; ; . Тогда производная функции по направлению вектора в точке равна .
Решения заданий типа 81-90.Производятся два вида товаров, объемы производства которых х и у, цены на эти товары и , соответственно, затраты на производство задаются функцией издержек . Определить при каких объемах производства данных товаров прибыль будет максимальной; найти ее максимальное значение. Например, =8 (у.е.), =10 (у.е.), = (у.е.). Решение. Так как товары производятся в объемах х и у, то функция прибыли будет иметь вид = или = . Требуется найти значения переменных х и у, при которых эта функция примет максимальное значение, при условии, что . Т.е. надо найти максимум функции двух переменных . Для этого найдем точки возможного экстремума этой функции, т.е. точки в которых . В нашей задаче ; , поэтому система имеет вид: . Решая ее, находим , т.е. точка является точкой возможного экстремума. Если в точке определитель и < 0, то точка является точкой локального максимума функции . Здесь , , значения частных производных второго порядка функции в точке . Вычислим эти частные производные: = ; = ; . Тогда и = , значит точка является точкой экстремума функции прибыли . Это означает, что, если объемы производства товаров первого и второго видов будут равны 2 и 4, соответственно, то прибыль будет максимальной и ее значение будет равно (у.е.).
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (512)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |