Определение предела функции. Критерий Коши существования предела функций
Ответ: Первое определение предела функции Это определение часто называют определением предела функции по Гейне. Точка a называется пределом функции
последовательность
В том случае, когда a является пределом функции f в точке x0, пишут Определение предела при заданной функции Пусть XÌ¡. Точка x0, для которой существует последовательность xnÎX, имеющая своим пределом точку x0, называется точкой прикосновения множества X. Очевидно, что любая точка x0, принадлежащая самому множеству X, является его точкой прикосновения, так как стационарная последовательность x0 = xnÎX удовлетворяет условиям данного определения: Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши. Сформулируем сначала определение конечного предела в конечной точке. Число a называется пределом функции f в точке x0Ρ, если для любого e > 0 существует такое d = d(e)>0, что для всех x, удовлетворяющих условиям Такую формулировку определения предела функции называют формулировкой на «языке e-d». Бесконечные пределы в точке x0 на языке e-d определяются следующим образом: +¥ (–¥) называется пределом функции f в точке Аналогичным образом определяется предел функции в бесконечно удалённых точках. Если функция f непрерывна в точке
Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентностей. Ответ: Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к.
Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие f(x) = A + a(x), где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).
Свойства бесконечно малых функций:
1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а. 2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а. 3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а. 4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.
Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где
f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x) A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит Теорема доказана.
Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где
A×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит Теорема доказана. Таблица эквивалентностей:
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1518)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |