Разбиение на классы. Отношение эквивалентности
В самых различных вопросах встречается разбиение тех или иных множеств на попарно пересекающиеся подмножества. Например, плоскость (рассматриваемую как множество точек) можно разбить на прямые, параллельные оси х, жителей данного города можно разбить на группы по их году рождения и т.д. Каждый раз, когда некоторое множество М представлено тем или иным способом как сумма попарно непересекающихся подмножеств, мы говорим о разбиении множества М на классы. Обычно приходится иметь дело с разбиениями, построенными на базе того или иного признака, по которому элементы множества М объединяются в классы. Пусть М – некоторое множество и пусть некоторые из пар (а, b) элементов этого множества являются выделенными. Если (а, b) – выделенная пара, то мы будем говорить, что элемент а связан с b отношением j, и обозначать это символом аjb или(а, b) Îj. Например, если имеется в виду разбиение треугольников на классы равновеликих, то аjb означает «треугольник а имеет ту же площадь, что и треугольник b». Определение. Отношение j называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами: 1) рефлексивность: аjа для любого элемента а Î М, 2) симметричность: если аjb, то bjа, 3) транзитивность: если аjb и bjc , то ajc. Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы отношение j (признак!) позволяло разбить множество М на классы. Понятие эквивалентности является частным случаем более общего понятия бинарного отношения. Прямым (декартовым) произведением множеств А1, …, Аn называется множество А1´…´Аn = {( a1, …, an) | a1 Î А1, …, an Î Аn}. Если А1 = … = Аn = А, то множество А1´…´Аn называется прямой степенью множества А и обозначается через Аn. Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество R множества А´В. Если А = В, то отношение R называется бинарным отношением на А. Вместо (х, у) Î R часто пишут хRу , т.е.высказывание: «предметы и связаны бинарным отношением » записывают в виде Если , то говорят, что бинарное отношение определено на множестве . Примером бинарного отношения может служить отношение тождества e: (а, b) Î e в том и только том случае, если а = b. Иначе говоря, это – отношение, задаваемое диагональю D в М´М, т.е. подмножеством пар вида (а, а). Областью определения бинарного отношения R называется множество dR = {x | существует у такое, что (х, у) Î R}. Областью значений бинарного отношения R называется множество rR = {x | существует у такое, что (у, х) Î R}. Для бинарных отношений определены обычным образом теоретико-множественные операции объединения, пересечения и т.д.
Непрерывность функции
1. Определение производной функции. Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Придадим аргументу приращение такое, что точка попадает в область определения функции. Функция при этом получит приращение . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при (если этот предел существует и конечен), т.е. . Следующая теорема устанавливает связь между существованием производной функции в точке и непрерывностью функции в этой точке. Теорема1. (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке , то функция f(x) в этой точке непрерывна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть существует . Тогда , Где – бесконечно малая при . ;
. Но это означает, что функция f(x) непрерывна в точке (по геометрическому определению непрерывности). ∎ Замечание. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в точке . Например, функция y = |x| непрерывна, но не имеет производной в точке . Очевидно, что соответствие является функцией, определенной на некотором множестве . Ее называют производной функции y = f(x) и обозначают . Операцию нахождения производной функции f(x) называют дифференцированием функции y = f(x). 2. Физический и геометрический смысл производной
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (967)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |